Matemática, perguntado por lopesdanilo70, 1 ano atrás

Dado o conjunto calcule o seu 5ºtermo A[2,4,6,...] B[3,6,9,...] C[6,12,...]

Soluções para a tarefa

Respondido por victorpsp666
1
a) a5 = 2 + 4 . 2
a5 = 10

b) a5 = 3 + 4 . 3
a5 = 15

c) a5 = 6 + 4 . 6
a5 = 30
Respondido por AlexandreCosta074
0

    Antes de mais nada, você precisa identificar o tipo de progressão (aritmética ou geométrica) que configura cada conjunto. Faz-se isso por meio da sequência de termos que foi fornecida na questão. 


   Para Progressões Aritméticas (P.A.) teremos que o termo seguinte (A_{n}) será sempre igual ao termo anterior (A_{m}) somado a um valor constante (r) que chamaremos de razão.


A_{n}=A_{m}+r 


Logo


r=A_{n}-A_{m}

 

   No caso das Progressões Geométricas (P.G.) o termo seguinte será igual ao termo anterior MULTIPLICADO por uma constante (q).


A_{n}=A_{m}.q


Logo

 

q=\frac{A_{n}}{A_{m}}


    Com isso em mente identifica-se as progressões de cada conjunto por meio da razão.


A [2, 4, 6, ...]


    Perceba que, neste conjunto, para cada termo temos uma razão de +2, ou seja, cada termo é igual ao anterior somado duas unidades. Isso caracteriza uma P.A.


r_1=4-2 \to r_1=2\\ \\r_2=6-4 \to
r_2=2


  Temos r_1=r_2.


B[3, 6, 9, ...]


   O mesmo acontece com o conjunto B, todavia, com uma razão diferente.


   r_1 = 6-3 \to r_1 = 3 \\
\\ r_2 = 9-6 \to r_2 = 3


   Estes conjuntos não podem ser P.G. pois se for feita a razão entre os termos para P.G. o valor de q_1 será diferente de q_2.


   Tomemos o conjunto B como exemplo:

   

   q_1 = \frac{6}{3}
\to q_1=2 \\ \\ q_2 = \frac{9}{6} \to q_2 = \frac{3}{2}=1,5

   

  Temos q_1 \neq q_2, logo, não se trata de uma P.G.


   Para se calcular qualquer termo de uma P.A. basta que você some um termo qualquer pela quantidade de vezes que a razão se repete até o termo que você deseja encontrar. Matematicamente temos:


   A_{n} = A_{m} + r.(n-m)

   

   Onde:

   A_{n} ⇒ Termo que deseja descobrir 

   A_{m} ⇒ Um termo qualquer que pertença ao conjunto em questão.

   r ⇒ Razão. 

   n ⇒ Posição do termo que deseja.

   m ⇒ Posição do termo qualquer.


   Para os conjuntos A e B faz-se:


A) 

   A_5 = A_2+2.(5-2)\\ \\A_5 =
4+2.3\\ \\A_5 = 4+6\\ \\A_5 = 10


   Temos que o 5° termo vale 10 unidades.

B)


   A_5 = A_3+3.(5-3)\\ \\A_5 = 9+3.2\\ \\A_5 = 9+6 \\ \\A_5 = 15

   

   Temos que o 5° termo vale 15 unidades.

 

   Utilizei diferentes termos em cada um dos casos. Fiz isso para demonstrar que, no termo qualquer, você pode adotar qualquer posição.


   No conjunto C temos uma incerteza. Como para este conjunto forma fornecidos apenas dois termos, não é possível identificar a progressão que configura a sequência pois teremos dois valores de razão r e q.


    r = 12-6 \to r = 6\\ \\ q = \frac{12}{6} \to q = 2


   Seria necessário um terceiro termo para garantir a natureza da progressão. Em vista disso faz-se o calculo do 5° termo para as duas possibilidades de progressão.


C)


   Se P.A.

    A_5 = A_1 + 6.(5-1)\\ \\A_5 = 6 + 6.4\\ \\A_5 = 6 + 24\\ \\A_5 = 30


   Temos que, caso se trate de uma P.A., o 5° termo vale 30 unidades.


   Se P.G. o calculo segue uma lógica parecida. para determinar um termo da progressão faz-se a MULTIPLICAÇÃO de um termo qualquer pela quantidade de vezes que a razão aparece. Como se trata de um produto a repetição da razão vem como expoente.


   A_{n} = A_{m}.q^{(n-m)}


   Ficamos com:


   A_{5} = A_{2}.2^{(5-2)}\\ \\A_{5} = 12.2^{3}\\ \\A_{5} = 12.8\\ \\A_{5} = 96


   Ou seja, caso seja uma P.G., o 5° termo terá 96 unidades.


   Espero que tenha ajudado.

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