Question

Dado número complexo Z = (x-2i)2 , no qual x é um número real. Se o argumento principal de z é 90°. Determine então 1/z:

Answer 1

Seja $z=(x-2i)^2\in\mathbb{C}$, com $x\in\mathbb{R}$.

Aplicando o caso notável do quadrado do binómio, obtemos:
$z=(x-2i)^2=x^2-2\cdot x\cdot 2i+(-2i)^2=x^2 -4xi - 4 = (x^2 -4) -4xi$

Se $\textrm{arg } z = 90^\circ$, então $z$ é um número imaginário (ou seja $\textrm{Re }z = 0$) com $\textrm{Im } z>0$. Assim:
• $\textrm{Re }z = 0 \iff x^2 -4 = 0 \iff (x-2)(x+2)=0\iff x=\pm 2$
• $\textrm{Im }z>0 \iff -4x > 0 \iff x < 0$

Como tal, tomamos $x=-2$, pelo que $z = 8i$