Question

Dado f(x)= ln (x^2 - x) e g(x)= 1/√(1-x). Determinar o domínio de (g o f) (x).

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

$f(x)= ln(x^2-x)\\g(x)= \dfrac{1}{\sqrt{1-x}}\\\\(gof) = g(f(x)) = \dfrac{1}{\sqrt{1-ln(x^2-x)}}\\\\Sabemos \ que \ o \ denominador \ precisa \ ser \ maior \ que \ zero. \ Pois \ nao \ existe \ divisao \ por \ zero.\\\\\sqrt{1-ln(x^2-x)}>0\\(\sqrt{1-ln(x^2-x)})^2 > 0^2\\\\1-ln(x^2-x) > 0\\1> ln(x^2-x)$

Sabemos por definição de logaritmo que x²-x precisa ser maior que 0

x²-x>0

Estudando o sinal da função, temos que suas raízes são x=0 e x=1, ou seja, para valores menores que 0 sempre teremos um valor positivo e valores maiores que 1 sempre teremos valor positivo, logo

x²-x>0 =>$x \in$ $[- \infty,0[ U ]1, \infty]$

$Logo,\\D(gof)=${$x \in \mathbb{R} / x<0 \ e \ x>1$}

Answer 2

Resposta:

S = {x ∈ IR/ $\frac{1-\sqrt{1+4e}}{2}<x<0\:ou\:1<x<\frac{1+\sqrt{1+4e} }{2}}\}$

Explicação passo-a-passo:

$f(x) = ln(x^2-x)\:e\:g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\\\\gof(x)=g(f(x))=\frac{1}{\sqrt{1-ln(x^2-x)} }$

x ∈ D(gof) ⇔ g(f(x) ∈ IR ⇔ 1 - ln(x² -x) > 0

e

f(x) ∈ IR ⇔ x² - x > 0

1 - ln(x² - x) > 0 ⇒ -ln(x² - x) > - 1 ⇒ ln(x² - x) < 1 ⇒ ln(x² - x) < lne

x² - x < e ⇒ x² - x - e < 0

Raízes

x² - x - e = 0

Δ = (-1)² - 4.1.(-e) = 1 + 4e

$x=\frac{1-\sqrt{1+4e} }{2}\:ou\:x=\frac{1+\sqrt{1+4e} }{2}$

x² - x > 0

Raízes

x² - x = 0

x(x - 1) = 0

x = 0 ou x - 1 = 0 ⇒ x = 1

Estudo dos sinais segue em anexo.