Question

Dado f(0) = 900 e f(10) = 300, calcule k tal que f(k) = 100 e sabendo que $f(x)=a. 3^{bx}$ a)60 b)50 c)40 d)30 e)20

Answer 1

$f(x)=a\cdot3^{b\cdot x}$

Como $f(0)=900$, temos:

$a\cdot3^{b\cdot0}=900 \iff a\cdot3^{0}=900 \iff a\cdot1=900 \iff a=900$

Então a partir de agora $f(x)=900\cdot3^{b\cdot x}$

Além disso, $f(10)=300$, logo:

$900\cdot3^{b\cdot10}=300 \iff \cdot3^{10b}=\dfrac{300}{900} \iff 3^{10b}=\dfrac{1}{3}$

Mas, $\dfrac{1}{3}=3^{-1}$, então $3^{10b}=3^{-1}$

Igualando os expoentes:

$10b=-1 \iff b=-\dfrac{1}{10}$

Deste modo, a função em questão é $f(x)=900\cdot3^{-\frac{x}{10}}$

Pelo enunciado, $f(k)=100$. Substituindo $x$ por $k$:

$f(x)=900\cdot3^{-\frac{x}{10}}$

$900\cdot3^{-\frac{k}{10}}=100 \iff 3^{-\frac{k}{10}}=\dfrac{100}{900}$

$3^{-\frac{k}{10}}=\dfrac{1}{9} \iff 3^{-\frac{k}{10}}=3^{-2}$

$-\dfrac{k}{10}=-2 \iff -k=-20 \iff \boxed{k=20}$

Letra E