Question

Dado esse limite

$\lim x^{ \frac{1}{3-x} } \\ _{x \to 3}$

Como eu calculo os limites laterais desse limite.

Eu sei que pela esquerda de x o limite é zero e pela direita de x o limite e +∞, mas algebricamente não consigo determinar esses limites laterais.

Answer 1

Calcular o limite

     $L=\lim\limits_{x\to 3}~x^{1/(3-x)}$


Expresse a composta de exponencial usando a definição de exponencial:

     $x^{1/(3-x)}=\exp\left(\ln x\cdot \dfrac{1}{3-x}\right)$


e o limite fica

     $\displaystyle L=\lim_{x\to 3}\exp\!\left(\ln x\cdot \frac{1}{3-x}\right)\\\\\\ L=\exp\left(\lim_{x\to 3}~\frac{\ln x}{3-x}\right)$

Ao fazer  $x\to 3,$ caímos em uma indeterminação do tipo  "k/0",  sendo  k = ln 3  (uma constante positiva). Dessa forma, devemos olhar os limites laterais.


     •   Estudando o sinal do denominador  3 − x:

     3 − x > 0,  para  x < 3

     3 − x < 0,  para  x > 3


     •   Computando o limite lateral pela esquerda  (x < 3):

     $L_-=\exp\left(\lim\limits_{x\to 3^-}~\dfrac{\ln x}{3-x}\right)$


Como o denominador é positivo na vizinhança à esquerda de  x = 3,  o resultado do limite será

     $\displaystyle L_-=\exp\!\left(\dfrac{\ln 3}{0^+}\right)\\\\\\ L_-=\exp(+\infty)\\\\ L_-=+\infty$


     •   Computando o limite lateral pela direita  (x > 3):

     $L_+=\exp\left(\lim\limits_{x\to 3^+}~\dfrac{\ln x}{3-x}\right)$


Como o denominador é negativo na vizinhança à direita de  x = 3,  o resultado do limite será

     $L_+=\exp\!\left(\dfrac{\ln 3}{0^-}\right)\\\\\\ L_+=\exp(-\infty)\\\\ L_+=\dfrac{1}{\exp(+\infty)}\\\\\\ L_+=\dfrac{1}{+\infty}\\\\\\ L_+=0$


Logo, o limite

          $L=\lim\limits_{x\to 3}~x^{1/(3-x)}$

não existe.


Bons estudos! :-)