Question

Dado cos x = 7/4, com 0 < x < pi/2, calcule:​

Answer 1

Temos os seguintes dados:

$\boxed{ \sf \cos(x) = \frac{ \sqrt{7} }{4}, \: \: \: \: 0 < \pi< \frac{\pi}{2} }$

Item a):

O item a) quer saber o seno (x), para isso vamos usar a relação fundamental da trigonometria, dada por:

$\star \: \: \sf \sin {}^{2} (x) + \cos {}^{2} (x) = 1 \: \: \star$

Vamos substituir o valor de cos(x) no seu devido local. Lembre-se de elevar ao quadrado.

$\sf \sin {}^{2} (x) + ( \frac{ \sqrt{7}}{4} ) {}^{2} = 1 \\ \\ \sf \sin {}^{2} (x) + \frac{7}{16} = 1 \\ \\ \sf\sin {}^{2} (x) = 1 - \frac{7}{16} \\ \\ \sf\sin {}^{2} (x) = \frac{16 - 7}{16} \\ \\ \sf \sin {}^{2} (x) = \frac{9}{16} \\ \\ \sf \sin(x) = \pm \sqrt{ \frac{9}{16} } \\ \\ \sf\boxed{ \sf \sin(x) = \pm \frac{3}{4}}$

A questão nos informa que o "x" está em um intervalo de "0°" a "90°", ou seja, no segundo quadrante, sabendo disso devemos lembrar que o seno no segundo quadrante é positivo, então vamos desprezar o valor negativo.

$\boxed{ \sf \sin(x) = \frac{3}{4}}$

Item b):

Para calcular a tangente é bem fácil, pois sabemos que tangente é seno(x) sobre cosseno(x).

$\boxed{ \sf \tan(x) = \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } }$

Substituindo os dados:

$\sf \tan(x ) = \frac{ \frac{3}{4} }{ \frac{ \sqrt{7} }{4} } \\ \\ \sf\tan(x) = \frac{3}{4} . \frac{4}{ \sqrt{7} } \\ \\ \sf \tan(x) = \frac{12}{4 \sqrt{7} } \\ \\ \sf\tan(x) = \frac{3}{ \sqrt{7} } . \frac{ \sqrt{7} }{ \sqrt{7} } \\ \\ \boxed{\sf\tan(x) = \frac{3 \sqrt{7} }{7} }$

Item c):

A cossecante é o inverso do seno, então vamos reescrever a cossecante dessa forma 1 / sen(x).

$\boxed{ \sf \csc(x) = \frac{1}{ \sin(x) }}$

Substituindo os dados:

$\sf \csc(x) = \frac{1}{ \frac{3}{4} } \\ \\ \sf \csc(x) = \frac{1}{1} . \frac{4}{3} \\ \\ \boxed{ \sf \csc(x) = \frac{4}{3} }$

Item d):

Do mesmo jeito que a cossecante é inverso do seno a secante é o inverso cosseno.

$\boxed{ \sf \sec(x) = \frac{1}{ \cos(x) }}$

Substituindo os dados:

$\sf \sec(x) = \frac{1}{ \frac{ \sqrt{7} }{4} } \\ \\ \sf\sec(x) = \frac{1}{1} . \frac{4}{ \sqrt{7} } \\ \\ \sf \sec(x) = \frac{4}{ \sqrt{7} } . \frac{ \sqrt{7} }{ \sqrt{7} } \\ \\ \boxed{\sf\sec(x) = \frac{4 \sqrt{7} }{7}}$

Item e):

Essa nem vou comentar, pois está na cara que é o inverso da tangente.

$\boxed{ \sf \cot( x) = \frac{1}{ \tan(x) } }$

Substituindo os dados:

$\sf \cot(x) = \frac{1}{ \frac{3 \sqrt{7} }{7} } \\ \\ \sf \cot(x) = \frac{1}{1} . \frac{7}{3 \sqrt{7} } \\ \\ \sf\cot(x) = \frac{7}{3 \sqrt{7} } \\ \\ \cot(x) = \frac{7}{3 \sqrt{7} } . \frac{ \sqrt{7} }{ \sqrt{7} } \\ \\ \sf\cot(x) = \frac{7 \sqrt{7} }{21} \\ \\ \boxed{ \sf\cot(x) = \frac{ \sqrt{7} }{3} }$

Espero ter ajudado