Question

Dado cos a= -1/2 e π/2 < a < π, calcule:

a) sen 2a

b) cos 2a

Answer 1

Primeiramente teremos que descobrir o valor do "seno" para isso usaremos a relação fundamental da trigonometria, dada por:

$\star \: \sf sen {}^{2} (x) + cos {}^{2} (x) = 1 \: \star$

Nore que Cos (x) está elevado ao quadrado na fórmula, então vamos ter que elevar o Cos (x) ao quadrado que possuímos:

$\sf sen {}^{2} (x) + ( - \frac{1}{2} ) {}^{2} = 1 \\ \sf sen {}^{2} (x) + \frac{1}{4} = 1 \\ \sf sen {}^{2} (x) = 1 - \frac{1}{4} \\ \sf sen {}^{2} (x) = \frac{4 - 1}{4} \\ \sf sen {}^{2} (x) = \frac{3}{4} \\ \sf sen (x) = \pm \sqrt{ \frac{3}{4} } \\ \sf sen(x) = \pm \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Note que a questão diz que "x" está em um intervalo de 90° à 180°, ou seja, segundo quadrante, onde o seno é positivo, então vamos desprezar o valor negativo encontrado anteriormente, o que faz com o que seno passe a ser:

$\boxed{ \sf sen(x) = \frac{ \sqrt{3} }{2} }$

Tendo feito isso, podemos partir para o cálculos dos itens a) e b).

Normalmente iríamos apenas pegar o valor e multiplicar por "2", mas isso está completamente errado, pois para encontrar o Sen, Cos ou Tan de 2x, devemos conhecer a fórmula de arco duplo para cada um deles, como eu não me lembro a fórmula do seno e cosseno, teremos que chegar a ela.

• Fórmula de arco duplo para o seno •

Para encontrarmos tal fórmula, temos que partir de outra fórmula que é a de adição de arcos, pois você deve concordar comigo que Sen(2x) pode ser escrito como:

$\sf sen(2x) = sen(x + x)$

Com isso, podemos substituir na fórmula da adição de arcos.

$\boxed{ \sf sen(a + b ) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a)} \\ \\ \sf sen(x + x) = sen(x).cos(x) + sen(x).cos(x) \\ \star \: \sf sen(2x) = 2.sen(x).cos(x) \star \:$

Essa é a fórmula de arco duplo, então vamos substituir os dados e por fim encontar Sen (2x):

$\sf sen(2x) = 2. \frac{ \sqrt{3} }{2} . ( - \frac{1}{2} ) \\ \sf sen(2x) = - \frac{2. \sqrt{3} }{2.2} \\ \sf sen(2x) = - \frac{2 \sqrt{3} }{4} \\ \boxed{ \sf sen(2x) = - \frac{ \sqrt{3} }{2} }$

• Fórmula de arco duplo para o cosseno

Para encontrar essa fórmula é basicamente a mesma coisa, Cos (2x) pode ser reescrito como:

$\sf cos(2x) = cos(x + x)$

Substituindo na fórmula de adição de arcos para o cosseno:

$\boxed{ \sf cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b)} \\ \\ \sf cos(x + x) = cos(x).cos(x) - sen(x).sen(x) \\ \star \sf cos(2x) = cos {}^{2} (x) - sen {}^{2} (x) \star$

Substituindo os dados na fórmula:

$\sf cos(2x) = ( - \frac{1}{2} ) {}^{2} - ( \frac{ \sqrt{3} }{2} ) {}^{2} \\ \sf cos(2x) = \frac{1}{4} - \frac{( \sqrt{3}) {}^{2} }{2 {}^{2} } \\ \sf cos(2x) = \frac{1}{4} - \frac{3 }{4} \\ \sf cos(2x) = \frac{-2 }{4} \\\boxed{ \sf cos(2x) = \frac{-1}{2}}$

Espero ter ajudado