Question

Dado as curvas y = $x^{3}$ - x e y = $x^{2}$ - a (onde a > 0) passam pelo ponto P e tem uma tangente comum no ponto P.

A) Encontre o valor de a.

B) Encontre a área S, limitada pelas duas curvas.

Answer 1

Resposta:

A)

y =  x³ - x    ==>  y'=3x²-1    (i)

y=x²-a  ==>y'=2x  (ii)

(i)=(ii)

3x²-1=2x

3x²-2x-1=0

x'=[2+√(4+12)]/6=(2+4)/6=1

x''=[2-√(4+12)]/6=(2-4)/6=-1/3

para x=1 ==> y=1³-1=0     ==> 0=1²-a  ==>a=1 >0   ..serve

para x=-1/3 ==>y=(-1/3)³+1/3 = -1/27+1/3=8/27

==>8/27=1/9-a  ==>a= 1/9-8/27  ==>a=-5/27 < 0 , ñ serve

P(1, 0)   e a =1

B)

x³ - x = x²-1

x*(x²-1)=x²-1

(x²-1)*(x-1)=0

x=1

x=± 1   ==>x'=1  e x''=-1

-1  a 1  ∫ (x³-x -(x²-1)  dx

-1  a 1  ∫ x³-x²-x+1 dx

-1 a 1 [x⁴/4 -x³/3 -x²/2+x]

= 1/4-1/3-1/2+1  -  ( 1/4+1/3-1/2-1) = 4/3 unid. área