Question

dado a função potencial elétrica v = [(x - 2)^2 . [(y + 2)^2] . [(z - 1)^3] v, calcule o campo elétrico na origem (x,y,z) = (0,0,0).

Answer 1

O campo elétrico e o potencial em uma região do espaço podem ser representados como funções

da posição: $\sf \vec{E}= \vec{E}(x,~y,~z)$, $\sf V=V(x,~y,~z )$. Essas grandezas estão relacionadas, então a partir do campo elétrico é possível obter o potencial elétrico ou do potencial elétrico é possível obter o campo elétrico. Pode-se mostrar que, dependendo dos vetores unitários, o campo elétrico pode ser obtido a partir da seguinte expressão:

$\rm{\vec{E}=-\left(\hat{i}\dfrac{\partial V}{\partial x},~\hat{j}\dfrac{\partial V}{\partial y},~\hat{k}\dfrac{\partial V}{\partial z}\right)=-\left(\hat{i}\dfrac{\partial }{\partial x},~\hat{j}\dfrac{\partial }{\partial y},~\hat{k}\dfrac{\partial }{\partial z}\right)\cdot V=-\nabla V}$

Onde a operação vetorial $\sf \nabla =\left(\hat j\dfrac{\partial}{\partial x},~\hat i\dfrac{\partial}{\partial y},~\hat k \dfrac{\partial}{\partial z}\right)$ é chamado de gradiente, e o campo elétrico é o negativo do gradiente de potencial. $\sf \nabla V$ também é usado na literatura para denotar o gradiente de potencial.

Então para saber o valor do campo elétrico na origem (x,y,z)=(0,0,0) sabendo que a função do potencial elétrico é igual a $\sf V = \left[(x - 2 )^2 , ~(y + 2)^2,~ (z - 1)^3\right]$ devemos encontrar o negativo do grandiente da função potencial elétrico.

$\rm{\vec{E}=-\nabla V=-\left(\dfrac{\partial}{\partial x}(x-2)^2,~ \dfrac{\partial}{\partial y}(y+2)^2,~\dfrac{\partial}{\partial z} (z-1)^3\right)}$

Encontrar o valor dessas derivadas parciais será bem simples, pois podemos fazer duas coisas, uma é aplicar a regra da cadeia e outra é aplicar binômio ao quadrado e binômio ao cubo e depois aplicar alguns valores fundamentais para as derivadas. Vamos aplicar binômio ao quadrado e binômio ao cubo que são expressos na forma:

$\sf \star\boxed{\sf (a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\star\qquad \star\boxed{\sf(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\star$

Aplicando essas duas fórmulas em nossa expressão teremos as seguintes derivadas parciais que são mais simples de realizar:

$\rm{\vec{E}=-\left(\dfrac{\partial}{\partial x}x^2-2\cdot 2\cdot x+ 2^2,~ \dfrac{\partial}{\partial y}y^2+2\cdot2\cdot y+2^2,~\dfrac{\partial}{\partial z} z^3-3\cdot z^2\cdot 1+3\cdot z\cdot 1^2-1^3\right)}\\\\ \rm{\vec{E}=-\left(\dfrac{\partial}{\partial x}x^2-4x+ 4,~ \dfrac{\partial}{\partial y}y^2+4 y+4,~\dfrac{\partial}{\partial z} z^3-3 z^2+3 z-1\right)}\\\\ \rm{\vec{E}(x,~y,~z)=-\left(2x-4,~ 2y+4 ,~ 3z^2-6 z+3 \right)}$

Já calculamos a função do campo elétrico, como já calculamos a função do campo elétrico, o seguinte é substituir o valor de cada componente para obter o campo elétrico na origem, substituindo (x,y,z) =(0,0, 0) obtemos como valor:

$\rm{\vec{E}(0,~0,~0)=-\left(2\cdot0-4,~ 2\cdot0+4 ,~ 3\cdot0^2-6 \cdot 0+3 \right)}\\\\\rm{\vec{E}(0,~0,~0)=-\left(-4,~ 4 ,~3 \right)} \\\\ \boxed{\rm{\vec{E}(0,~0,~0)=\left(4,~-4 ,~-3 \right)}}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{Resposta}$