Question

Dado a equação 4x^2 + 2bx - 5c = 0, calcule b e c sabendo que as raízes da equação são -2 e 4.

Answer 1

Olá.

Resolução:

4.4² + 2.4.b - 5.c = 0
4.16 + 8b - 5c = 0
64 + 8b - 5c = 0
8b - 5c = -64

4.(-2)² + 2.(-2).b - 5.c = 0
4.4 - 4b - 5c = 0
-4b - 5c = -16
4b + 5c = 16

Sistema simples:

{8b - 5c = -64
{4b + 5c = 16

12b = -48
b = -48/12
b = -4

4.(-4) + 5c = 16
-16 + 5c = 16
5c = 16 + 16
c = 32/5



Solução: {b;c} = {-4; 32/5}





Espero ter ajudado!

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Augusto, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se os valores dos coeficientes "b" e "c" da equação 4x² + 2bx - 5c = 0, sabendo-se que "-2" e "4" são raízes dessa equação.

ii) Antes de iniciar, veja que as raízes fazem quaisquer equações ser iguais a zero. Em outras palavras, os números que fazem uma equação ser igual a zero são suas raízes. Então vamos na equação da sua questão [4x² + 2bx - 5c = 0] e vamos substituir o "x" por "-2" e depois por "4". Então vamos fazer isso:

ii.1) Fazendo x = -2 na expressão dada [4x² + 2bx - 5c = 0]:

4*(-2)² + 2*b*(-2) - 5c = 0 ----- desenvolvendo, temos:

4*4 - 4b - 5c = 0 ---- continuando, temos:

16 - 4b - 5c = 0 ---- passando "16" para o 2º membro, temos:

-4b - 5c = - 16 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:

4b + 5c = 16      . (I).

ii.2) fazendo x = 4 na expressão dada [4x² + 2bx - 5c = 0]:

4*4² + 2b*4 - 5c = 0 ----- desenvolvendo, temos:

4*16 + 8b - 5c = 0 ---- continuando, temos:

64 + 8b - 5c = 0 ----- passando "64" para o 2º membro, temos:

8b - 5c = - 64     . (II).

iii) Agora veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I) e (II), e que são estas:

{4b + 5c = 16      . (I)

{8b - 5c = - 64    . (II).

Vamos fazer o seguinte: somaremos, membro a membro, as duas expressões. Fazendo isso, teremos:

4b + 5c = 16 ---- [esta é a expressão (I) normal]

8b - 5c = -64 --- [esta é a expressão (II) normal]

---------------------------- somando membro a membro, ficaremos com:

12b + 0 = - 48 ---- ou apenas:

12b = - 48 ---- isolando "b", temos:

b = -48/12 ----- note que esta divisão dá exatamente "-4". Logo:

b = - 4 <--- Este é o valor de "b".

Agora, para encontrar o valor de "c", vamos em uma das duas expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos o valor de "b" por "-4". Vamos na expressão (I), que é esta:

4b + 5c = 16 ---- substituindo-se "b" por "-4", teremos:

4*(-4) + 5c = 16 ----- desenvolvendo, temos:

-16 + 5c = 16 ---- passando "-16" para o 2º membro, temos:

5c = 16 + 16

5c = 32 ------ isolando "c", temos:

c = 32/5 <--- Este é o valor de "c".

iv) Assim, resumindo, teremos que:

b = -4; c = 32/5 <---- Esta é a resposta.

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução {b; c} da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {-4; 32/5}.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.