Question

Dadas as transformações lineares $T : R^3$ ⇒ $R^3$ e $S : R^3$ ⇒ $R^3$ dadas pelas matrizes:

$T = \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&2&0\\1&-1&0\end{array}\right] S = \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

1) Determine a transformação linear $R = ToS$

2) Calcule, se possível $R^-^1(x,y,z)$, senão justifique.

Obrigada

Answer 1

1)

A matriz associada a composição de transformações lineares é simplesmente o produto. Assim a matriz associada a R será

$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\1 & -1 & 0 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\0 &0 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 \\1 & -1 & -1 \end{array} \right]$

Explicitamente temos

R(x,y,z) = (x, 2y, x-y-z)

2)

R é invertível já que o determinante da matriz obtida no item anterior é -2. E a matriz inversa é

$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[2ex]0 &\frac 12 & 0 \\[2ex]1 & -\frac 12 & -1 \end{array} \right]$

Explicitamente temos

R⁻¹(x,y,z) = (x, y/2, x-y/2 - z)