Question

Dadas as sequencias (x-7y,3,4y) e (x,3,y), determine x e y para que a primeira sequencia seja uma PA e a segunda uma PG.

Answer 1

Para que uma progressão seja aritmética, a diferença entre seus termos subsequentes deve ser sempre constante. Ou seja:

$3 - (x - 7y) = 4y - 3 \\ 3 -x + 7y = 4y - 3 \\ 7y - 4y = -3 -3 + x \\\boxed{x = 3y + 6}$

Para que uma progressão seja geométrica, ela deve ser da forma:

$(a_0, a_0 \cdot R, a_0 \cdot R^2, a_0 \cdot R^3, ..., a_0 \cdot R^{n})$

Ou seja:

$x = a_0 \\ 3 = a_0 \cdot R = x \cdot R \\ \boxed{R = \frac{3}{x}}\\ y = a_0 \cdot R^2 = x \cdot R^2= x \cdot (\frac{3}{x})^2 = x \cdot \frac{9}{x^2}\\ \boxed{y= \frac{9}{x}}$

Então:

$x = 3 \cdot y + 6 = 3 \cdot \frac{9}{x} + 6 = \frac{27}{x} + 6 \\ x - 6 = \frac{27}{x} \\ x \cdot (x-6) = 27 \\ x^2 - 6 \cdot x - 27 = 0$

Podemos achar o valor de x utilizando a fórmula de Bhaskara:

$x = \frac{-b \pm \sqrt[2]{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt[2]{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27)}}{2 \cdot 1}\\ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (-27)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt[2]{36 + 108}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt[2]{144}}{2} =\frac{6 \pm 12}{2}\\ \boxed{x^{'} = \frac{18}{2} = 9} \\ x^{''} = \frac{-6}{2} = -3$

Usaremos apenas a raiz positiva x = 9.

$y = \frac{9}{x}\\ \boxed{y = \frac{9}{9} = 1}$

Assim, a primeira progressão ficará: (2,3,4) - aritmética com razão 1, e a segunda: (9,3,1).