Question

Dadas as sentenças: “Para todo r irracional, r2
é irracional” e “Existem r e q
irracionais tais que r.q é racional”. Classifique cada sentença em verdadeira ou falsa:
( ) Existe r irracional tal que r2
é racional e existem r e q irracionais tais que r.q é racional.
( ) Para todo r irracional, r2
é irracional ou existem r e q irracionais tais que r.q é racional.
( ) Se existem r e q irracionais tais que r.q é racional, então r2
é irracional para qualquer que seja r
irracional.
( ) Para todo r irracional, r2
é irracional se, para todos r e q irracionais r.q é racional.

Answer 1

Olá.

 

Para resolver essa questão, podemos mostrar um exemplo para tornar a sentença positiva, assim como devemos mostrar uma prova para que a sentença seja negativa.

 

Antes de começar, é bom conhecermos os conceitos dos conjuntos dos racionais e dos irracionais.

 

No conjunto dos números racionais ($\mathbb{Q}$) existem todos os números reais que podem ser escritos em forma de fração. Dentro desse conjunto estão os números naturais, números inteiros, números decimais e as dízimas periódicas.

 

No conjunto dos números irracionais ($\mathbb{I}$) existem todos os números reais que não podem ser escritos em forma de fração. Como exemplo de números pertencentes a esse conjunto, temos as raízes não exatas e pi.

 

Transcrevo as sentenças abaixo, justificando-as adequadamente.

 

(  ) Existe r irracional tal que r² é racional e existem r e q irracionais tais que r * q é racional.

 

Verdadeiro.

 

Para a primeira proposição, vamos supor que r é a raiz quadrada de 2. Calculemos.

 

$\begin{array}{ccl} \mathsf{r=\sqrt2}&\therefore&\mathsf{r^2=\left(\sqrt2\right)^2=2}\\\\ \mathsf{r\in\mathbb{I}}&\therefore&\mathsf{r^2\in\mathbb{Q}} \end{array}$

 

Esse caso será verdadeiro para toda raiz com índice 2 e radicando com expoente igual a 1.

 

Para a segunda proposição, vamos supor que r é a raiz 2 e q é a raiz de 8. Calculemos.

 

$\mathsf{r=\sqrt2~~\therefore~~q=\sqrt8}\\\\ \mathsf{r\cdot q=\sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4}\\\\ \mathsf{r\cdot q\in\mathbb{Q}}$

 

O mesmo aconteceria em outros casos, como:

 

$\mathsf{r=\sqrt2~~\therefore~~q=\sqrt2}\\\\\mathsf{r=\sqrt2~~\therefore~~q=\sqrt{32}}\\\\\mathsf{r=\sqrt3~~\therefore~~q=\sqrt{27}}$

 

$\textsf{--------------------------------------------------}$

 

(  ) Para todo r irracional, r² é irracional ou existem r e q irracionais tais que r * q é racional.

 

Verdadeiro. 

Como demonstrei acima, a primeira proposição (Para todo r irracional, r² é irracional) será verdadeira para toda raiz com índice 2 e radicando com expoente igual a 1.

 

A segunda proposição (existem r e q irracionais tais que r * q é racional) foi demonstrada acima como verdadeira.

 

As duas proposição não são dependentes, logo, se um for verdadeira, a sentença também será.

 

$\textsf{--------------------------------------------------}$

 

(  ) Se existem r e q irracionais tais que r * q é racional, então r² é irracional para qualquer que seja r irracional.

 

Falso. 

Foi demonstrado na primeira assertiva que ambas as proposições são possíveis, sem uma depender da outra.

 

$\textsf{--------------------------------------------------}$

 

(  ) Para todo r irracional, r² é irracional se, para todos r e q irracionais r * q é racional.

 

Falso. Mesma “lógica” mostrada na primeira sentença. Para falsear essa sentença basta existir um exemplo que contradiz.

Veja:

$\mathsf{r=\sqrt3~~\therefore~~q=\sqrt{27}}\\\\ \mathsf{r\cdot q=\sqrt3\cdot\sqrt{27}=\sqrt{3\cdot27}=\sqrt{81}=9}\\\\ \mathsf{r^2=\left(\sqrt3\right)^2=3}$

$\textsf{--------------------------------------------------}$

Finalizando, podemos afirmar que as sentenças serão: V, V, F, F.

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$