Question

Dadas as retas t: y = 2x – 1 e s: y = x + 3, determine a cotangente do ângulo formado entre as retas r e s, sabendo que r e t são perpendiculares e se encontram no ponto P(1,2).

Answer 1

Vamos lá.

Dadas as retas "t": y = 2x - 1; e "s": y = x + 3, pede-se para determinar a cotangente do ângulo formado entre as retas "r" e "s", sabendo-se que "r" e "t" são perpendiculares e se encontram no ponto P(1; 2).
Bem, vamos por parte e vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.


i) Se a  equação da reta "t" é: y = 2x - 1, então o seu coeficiente angular  é igual a "2" (é o coeficiente de "x" após termos isolado "y"). E se a reta "r" é perpendicular à reta "t", logo o coeficiente angular da reta "r" será igual a "-1/2", pois quando duas retas são perpendiculares o produto entre os coeficientes angulares das duas retas é igual a "-1". Assim, chamando de "mr" o coeficiente angular da reta "r" e já sabendo que o coeficiente angular da reta "t" é igual a "2" (mt = 2), então o produto entre eles será igual a (-1), ou seja:

mr*mt = - 1 ----- substituindo "mt" por "2", temos:
mr*2 = - 1
mr = - 1/2 <--- Veja como é verdade, que o coeficiente angular da reta "r" é igual a "-1/2".


ii) Agora vamos encontrar qual é o ângulo formado entre as retas "r" e "s", que é o que está sendo pedido.
Note que o coeficiente angular da reta "r" é "-1/2" (mr = - 1/2) e o coeficiente angular da reta "s", cuja equação é "s": y = x + 3, é igual a "1" (ms = 1), pois é o coeficiente de "x" após termos "y" isolado. 
A fórmula para calcularmos o ângulo formado entre duas retas é esta:

α = |(ms - mr)/(1+mr*ms)| , em que "α" é o ângulo formado entre as duas retas, "ms" é o coeficiente angular da reta "s" e "mr" é o coeficiente angular da reta "s".
Agora vamos fazer as devidas substituições para encontrarmos o valor do ângulo (α)  formado entre as duas retas. Assim:

α = |(1 - (-1/2))/*(1+1*(-1/2)|
α = |(1 + 1/2)/(1 - 1/2)| ---- veja que 1+1/2 = 3/2; e 1-1/2 = 1/2. Assim:
α = |(3/2)/(1/2)| ---- veja que temos aqui a divisão de duas frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Assim:

α = |(3/2)*(2/1)|
α = |3*2/2*1|
α = |6/2|
α = |3| ------ como |3| = 3, então teremos que:
α = 3º <--- Este é o ângulo formado entre as duas retas.


iii) Agora vamos ao que está sendo pedido, que é a cotangente do ângulo formado entre as retas "r" e "s". Como já sabemos que esse ângulo mede 3º, então vamos calcular qual é a cotangente de 3º. Como o ângulo de 3º não é um ângulo notável, então vamos ter que utilizar uma calculadora científica e ver qual é a cotangente de 3º. Assim, utilizando a calculadora científica do Windows, vemos que:

cot(3º) = 19,08 aproximadamente. Esta é a resposta. Este é o valor de cotangente de 3º.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.