Question

Dadas as retas r:(x,y,z)=(2,4,1)+t(1,−2,3) e s:(x,y,z)=(−1,2,5)+t(4,3,−2) podemos afirmar corretamente que:

a. r e s são concorrentes

b. r e s são reversas

c. r e s são paralelas

d. r e s são coincidentes

Answer 1

Primeiramente iremos verificar se a reta é paralela.

Se ambos forem paralelas,

Kt = t'


k(1 , - 2, 3) = (4, 3, -2)

(k, - 2k, 3k) = (4, 3, -2)

k = 4
-2k = 3
3k = -2

Observe que essas igualdades são falsas. Pois cada igualdade possui um valor distinto de k.

Logo, as retas não são paralrlas e nem coincidentes.


c e d são FALSAS.
__________

Agora vamos verificar se as retas são reversas ou concorrentes.

Para que seja concorretes, as retas deverar ter um ponto de intersecção.

Resolvendo o sistema teremos:

(x,y,z) = (2,4,1) + t(1, -2, 3)

x = 2 + t
y = 4 -2t
z = 1 + 3t
_______

(x,y,z) = (-1,2,5)+t'(4,3,-2)

x = - 1 + 4t'
y = 2 + 3t'
z = 5 -2t'
_______

Substituindo o segundo sistema na igualdade acima teremos:

-1 + 4t' = 2 +t eq1:

2 + 3t' = 4 - 2t eq2:

5 - 2t' = 1 + 3t eq3:
__________

Resolvendo os dois primeiros sistemas.

- 1+ 4t' = 2 + t

4t' - t = 3
____

2 + 3t' = 4 - 2t

3t' + 2t = 2
____

temos"

4t' - t = 3
3t' + 2t = 2

Multiplicando a primeira por 2

8t' - 2t = 6
3t' + 2t = 2

Somando as equaçôes

11t' = 8

t' = 8/11
_____

Substituinto t' = 8/11

Em uma das equações acima teremos:

4t'- t = 3

4×(8/11) - t = 3

32/11 - t = 3

Vamos multiplicar a equação por 11

32 - 11t = 33

-11t = 1

t = - 1/11
______


Substituindo t' = 8/11 e t = - 1/11 nas 3 equações devemos ter uma igualdade verdadeira para que seja comcorrente.




-1 + 4t' = 2 +t

2 + 3t' = 4 - 2t

5 - 2t' = 1 + 3t
__________

eq1

- 1 + 4×(8/11) = 2 + (-1/11)

-1 + 32/11 = 2 - 1/11

(-11 + 32)/11 = (22 - 1)/11

21/11 = 21/11

Verdadeiro.

eq2

2 + 3t' = 4 - 2t

2 + 3×(8/11) = 4 - 2×(-1/11)

2 + 24/11 = 4 + 2/11

(22+24)/11 = (44 + 2)/11

46/11 = 46/11

Verdadeiro

eq3

5 - 2t' = 1 + 3t

5 - 2×(8/11) = 1 + 3×(-1/11)

5 - 16/11 = 1 - 3/11

(55 - 16)/11 = (11 - 3)/11

39/11 = 8/11

Falso.

Como foi falso no ultimo sistema teremos que são reversas

REVERSAS!