Question

Dadas as retas r: x+(k+2)y+1=0 e s: kx+8y+3=0. Para quais valores de k as retas r e s são concorrentes?

a)k igual a 2
b)k igual a -4
c)k igual a 2 e k igual a -4
d)k diferente de 2 e k diferente de -4

Answer 1

⠀⠀Para $k$ diferente de 2 e –  4 as retas dadas podem ser concorrentes, então a alternativa d) é a resposta.

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Considerações

⠀⠀Duas retas concorrentes são retas que se cruzam formando um único ponto de interseção. Consideremos duas retas $\smallr:a_rx+b_ry=c_r$ e  $\smalls:a_sx+b_sy=c_s$ comparticipando do mesmo plano, em que $a_s$, $b_s$, $c_s$ $\in\mathbb{R}^*$. Elas serão concorrentes se, e somente se, a razão entre seus coeficientes “$a$” for diferente da razão entre seus coeficientes “$b$”. Em linguagem matemática, dizemos que:

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                                    $\LARGE\begin{array}{c}r~\mathsf{X}~s~~\Longleftrightarrow~~\dfrac{a_r}{a_s}\neq\dfrac{b_r}{b_s}\end{array}$

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Voltando à questão

⠀⠀Nos foi dadas as retas $\smallr:x+(k+2)y+1=0$ e $\smalls:kx+8y+3=0$. Desejamos encontrar os valores de $k$ de modo que as retas $r$ e $s$ sejam concorrentes. Não é preciso passar as equações para a forma $ax+by=c$, pois precisaremos apenas dos coeficientes “$a$” e “$b$”. Sendo assim, com base no supradito teremos para $r~\mathsf{X}~s$:

                                                $\Large\begin{array}{c}\dfrac{a_r}{a_s}\neq\dfrac{b_r}{b_s}\\\\\dfrac{1}{k}\neq\dfrac{k+2}{8}\\\\k\cdot(k+2)\neq1\cdot8\\\\k^2+2k\neq8\\\\k^2+2k-8\neq0\end{array}$

⠀⠀Por fatoração:

                                    $\Large\begin{array}{c}k^2+4k-2k-8\neq0\\\\k\cdot(k+4)-2\cdot(k+4)\neq0\\\\(k+4)\cdot(k-2)\neq0\\\\k+4\neq0~~\land~~k-2\neq0\\\\k_1\neq-\,4~~\land~~k_2\neq2\end{array}$

⠀⠀Dessa forma, para que as retas $r$ e $s$ possam ser concorrentes $k$ deve ser diferente de 2 e –  4. Portanto, a alternativa d) responde a questão.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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