Question

Dadas as retas r e s que se interceptam no ponto P. De as coordenadas cartesianas dos pontos P,A e D e de as equações das retas r e s

Answer 1

Aula 4 Basicamente, duas retas r e s contidas no mesmo plano são paralelas ou concorrentes. Se, ao concorrerem formarem ângulos de 90º, teremos retas perpendiculares. Podemos ainda afirmar que se houver ponto de intersecção, as retas são concorrentes, não havendo ponto de intersecção as retas são paralelas. RETAS PARALELAS Duas retas no mesmo plano são paralelas quando os ângulos formados por elas e o eixo Ox forem iguais. Como consequência, seus coeficientes angulares (m) também são iguais. Porém, seus coeficientes lineares (n) precisam ser diferentes, ou então teremos retas coincidentes. Sendo α1 a inclinação da reta r e α2 a inclinação da reta s, temos: m1 = m2 tg α1 = tg α2 α1 = α2 (α1 e α2 estão entre 0° e 180°) Veja a figura acima, que mostra duas retas distintas e não verticais, que são paralelas. Observe também a figura a seguir, que mostra a mesma situação anterior, porém com duas retas paralelas, em posições diferentes das anteriores. Na primeira figura o coeficiente angular é positivo (ângulo agudo), na segunda figura o coeficiente angular é negativo (ângulo obtuso). Assim, duas retas distintas e não verticais r e s são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais (m1 = m2). RETAS CONCORRENTES Duas retas no mesmo plano com coeficientes angulares diferentes não são paralelas; logo, são concorrentes. Observe as duas figuras a seguir e veja duas situações diferentes onde as retas r e s concorrem num ponto. Então: α1 ≠ α2 tg α1 ≠ tg α2 m1 ≠ m2 r e s: concorrentes Concluímos que: duas retas distintas e não verticais r e s são concorrentes se, e somente se, seus coeficientes angulares são diferentes (m1 ≠ m2). Vamos observar a figura a seguir. A figura mostra duas retas, r e s, do mesmo plano, que se interceptam no ponto P. Como P pertence às duas retas, suas coordenadas devem satisfazer simultaneamente às equações dessas duas retas. Então, para determiná-las, basta resolver o sistema formado pelas equações de duas retas. Pela resolução de sistemas, podemos verificar a posição relativa de duas retas. Assim temos: Um único ponto comum caracteriza retas concorrentes. Infinitos pontos comuns caracterizam retas coincidentes. Nenhum ponto comum caracteriza retas paralelas distintas. Vamos, através de um exemplo, encontrar a posição relativa de duas retas r e s, conhecidas suas equações, e determinar as coordenadas do ponto P de intersecção, caso exista, das retas r e s, de equações 3x + 2y – 7 = 0 e x – 2y – 9 = 0, respectivamente. Inicialmente, resolvemos o sistema formado pelas equações das duas retas, fornecidas pela situação-problema: Substituindo y na segunda equação, teremos o valor de x: Logo, as coordenadas do ponto de intersecção são 4 e . Ou seja, P . Uma vez encontrado o ponto de intersecção entre as duas retas e visto que ele é único, pode-se concluir que as retas são concorrentes.