Question

Dadas as matrizes

M= 1 2 3

-1 0 -2

4 -3 5

N=1 0 0

0 1 0

0 0 1

P= 0 -1 1

-2 0 1

-3 2 0

Calcule X, de modo que

a) X-M = N-P

b) P+X = M-N

c) X+(M-P) = N

Answer 1

Temos aqui uma questão envolvendo operações elementares entre matrizes.

Vamos realizar operações de adição e de subtração nas matrizes. Vale destacar que na adição/subtração de matrizes, faz-se a soma elemento a elemento, individualmente.

a) X - M = N - P

  X = M + N - P

Sendo assim:

$X = \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\-1&0&-2\\4&-3&5\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}0&-1&1\\-2&0&1\\-3&2&0\end{array}\right] \\\\X = \left[\begin{array}{ccc}1 + 1 + 0&2 + 0 - 1&3 + 0 + 1\\-3 + 0 -2&0 + 1 + 0&-2 + 0 + 1\\4 + 0 - 3&-3 + 0 + 2&5 + 1 + 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2&1&4\\-5&1&-1\\1&-5&6\end{array}\right]$

b) P + X = M - N

   X = M - N - P

Portanto:

$X = \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\-1&0&-2\\4&-3&5\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}0&-1&1\\-2&0&1\\-3&2&0\end{array}\right]\\ \\X = \left[\begin{array}{ccc}1 - 1 - 0&2 - 0 + 1&3 - 0 - 1\\-1 - 0 + 2&0 - 1 - 0&-2 - 0 - 1\\4 - 0 + 3&-3 - 0 - 2&5 - 1 - 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0&3&2\\1&-1&-3\\7&-5&4\end{array}\right]$

c) As somas/subtrações de matrizes obedecem a propriedade associativa, deste modo:

X + (M-P) = N

X = N - (M-P) = N - M + P = N + P - M

Logo:

$X = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0&-1&1\\-2&0&1\\-3&2&0\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\-1&0&-2\\4&-3&5\end{array}\right]\\\\X = \left[\begin{array}{ccc}1 + 0 - 1&0 - 1 - 2&0 + 1 - 3\\0 - 2 + 1&1 + 0 - 0&0 + 1 + 2\\0 - 3 - 4&0 + 2 + 3&1 + 0 - 5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0&-3&-2\\-1&1&3\\-7&5&-4\end{array}\right]$

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Answer 2

• a) X - M = N - P

X = 2 3 2

1 1 -3

7 -5 6

• b) P + X = M - N

X = 0 3 2

1 -1 -3

7 -5 4

• c) X + (M - P) = N

X = 0 -3 -2

-1 1 3

-7 5 -4

Matriz

As matrizes são conjuntos de elementos dispostos em linhas e colunas.

Adição de matriz

Devemos somar cada elemento correspondente das matrizes de mesma ordem, ou seja, subtrair linha com linha e coluna com coluna.

Subtração matriz

Devemos subtrair cada elemento correspondente das matrizes de mesma ordem, ou seja, subtrair linha com linha e coluna com coluna.

Dado:

• $M = \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\-1&0&-2\\4&-3&5\end{array}\right]$
• $N = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$
• $P=\left[\begin{array}{ccc}0&-1&1\\-2&0&1\\-3&2&0\end{array}\right]$

Calcule X, de modo que

• a) X - M = N - P

X = N - P + M

$X = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}0&-1&1\\-2&0&1\\-3&2&0\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\-1&0&-2\\4&-3&5\end{array}\right]$

$X = \left[\begin{array}{ccc}1-0+1&0-(-1)+2&0-1+3\\0-(-2)+(-1)&1-0+0&0-1+(-2)\\0-(-3)+4&0-2+(-3)&1-0+5\end{array}\right]$

$X = \left[\begin{array}{ccc}2&3&2\\1&1&-3\\7&-5&6\end{array}\right]$

∴ X = 2 3 2

1 1 -3

7 -5 6

• b) P + X = M - N

X = M - N - P

$X=\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\-1&0&-2\\4&-3&5\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}0&-1&1\\-2&0&1\\-3&2&0\end{array}\right]$

$X=\left[\begin{array}{ccc}1-1-0&2-0-(-1)&3-0-1\\-1-0-(-2)&0-1-0&-2-0-1\\4-0-(-3)&-3-0-2&5-1-0\end{array}\right]$

$X=\left[\begin{array}{ccc}0&3&2\\1&-1&-3\\7&-5&4\end{array}\right]$

∴ X = 0 3 2

1 -1 -3

7 -5 4

• c) X + (M - P) = N

X = N - (M - P)

X = N - M + P

$X= \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]- \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\-1&0&-2\\4&-3&5\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0&-1&1\\-2&0&1\\-3&2&0\end{array}\right]$

$X= \left[\begin{array}{ccc}1-1+0&0-2+(-1)&0-3+1\\0-(-1)+(-2)&1-0+0&0-(-2)+1\\0-4+(-3)&0-(-3)+2&1-5+0\end{array}\right]$

$X= \left[\begin{array}{ccc}0&-3&-2\\-1&1&3\\-7&5&-4\end{array}\right]$

∴ X = 0 -3 -2

-1 1 3

-7 5 -4

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Bons Estudos!