Question

Dadas as matrizes abaixo determine:
a) det (AxB) b) det (BxA)

Matriz 3x3   A=  5    -1   -2
                        0      4    3
                       1       8   3
e a outra matriz 3x3 
B= 0    1      2
     -3   -1     4
      2    -2    5

Answer 1

Resposta do det AB:

Antes de achar o determinante de AB, é necessário achar o produto AB.
O Produto AB:

$A= \left[\begin{array}{ccc}5&-1&-2\\0&4&3\\1&8&3\end{array}\right] \\ \\ \\ B= \left[\begin{array}{ccc}0&1&2\\-3&-1&4\\2&-2&5\end{array}\right] \\ \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}5&-1&-2\\0&4&3\\1&8&3\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}0&1&2\\-3&-1&4\\2&-2&5\end{array}\right]=$

$\\ \\ \\ 1- \left[\begin{array}{ccc}5*0+(-1)*(-3)+(-2)*2\\0*0+4*(-3)+3*2\\1*0+8*(-3)+3*2\end{array}\right] \\ \\ 2- \left[\begin{array}{ccc}5*1+(-1)*(-1)+(-2)*(-2)\\0*1+4*(-1)+3*(-2)\\1*1+8*(-1)+3*(-2)\end{array}\right] \\ \\ 3- \left[\begin{array}{ccc}5*2+(-1)*4+(-2)*5\\0*2+4*4+3*5\\1*2+8*4+3*5\end{array}\right] \\ \\ =$
obs: como a matriz ficou muito grande para colocar no editor de fórmulas do site, tive que dividir. Os números representam a coluna a que pertencem; ou seja, se você juntar 1, 2 e 3, terá a matriz em sua forma total. E eu farei isso tanto para essa matriz em questão, AB, quanto para a próxima, BA, Ok?

$MatrizAB \left[\begin{array}{ccc}0+3-4&5+1+4&10-4-10\\0-12+6&0-4-6&2+16+15\\0-24+6&1-8-6&2+32+15\end{array}\right] = \\ \\ \\ AB= \left[\begin{array}{ccc}-1&10&-4\\-6&-10&33\\-18&-13&49\end{array}\right]$

Agora que a matriz AB foi encontrada, descobrirei o det AB pela regra de Saurrus:

$detAB= \left[\begin{array}{ccc}-1&10&-4\\-6&-10&33\\-18&-13&49\end{array}\right] \left\begin{array}{cc}-1&10&-6&-10\\-18&-13\\\end{array}\right \\ \\ \\ -(-18)*(-10)*(-4)=720 \\ -(-13)*33*(-1)=-429 \\ -49*(-6)*10=2940 \\ \\ \\ -4*(-6)*(-13)=-312 \\ 10*33*(-18)=-5940 \\ -1*(-10)*49=490 \\ \\ detAB=720-429+2940-312-5940+490=-2531 \\ \\ detAB=-2531$

Resposta do det BA:

$A= \left[\begin{array}{ccc}5&-1&-2\\0&4&3\\1&8&3\end{array}\right] \\ \\ \\ B= \left[\begin{array}{ccc}0&1&2\\-3&-1&4\\2&-2&5\end{array}\right] \\ \\ \\ \\BA= \left[\begin{array}{ccc}0&1&2\\-3&-1&4\\2&-2&5\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}5&-1&-2\\0&4&3\\1&8&3\end{array}\right]$

$BA= \left[\begin{array}{ccc}0&1&2\\-3&-1&4\\2&-2&5\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}5&-1&-2\\0&4&3\\1&8&3\end{array}\right] \\ \\ 1- \left[\begin{array}{ccc}0*5+1*0+2*1&\\-3*5+(-1)*0+4*1\\2*5+(-2)*0+5*1\end{array}\right] \\ \\ 2- \left[\begin{array}{ccc}0*(-1)+1*4+2*8\\-3*(-1)+(-1)*4+4*8\\2*(-1)+(-2)*4+5*8\end{array}\right] \\ \\ 3-\left[\begin{array}{ccc}0*(-2)+1*3+2*3\\-3*(-2)+(-1)*3+4*3\\2*(-2)+(-2)*3+5*3\end{array}\right]$

$Matriz AB \left[\begin{array}{ccc}0+0+2&0+4+16&0+3+6\\-15+0+4&3-4+32&6-3+12\\10+0+5&-2-8+40&-4-6+15\end{array}\right] = \\ \\ \\AB= \left[\begin{array}{ccc}2&20&9\\-11&31&15\\15&30&5\end{array}\right] \\ \\ \\ DetBA=\left[\begin{array}{ccc}2&20&9\\-11&31&15\\15&30&5\end{array}\right] \left\begin{array}{ccc}2&20\\-11&31\\15&30\end{array}\right$

$-15*31*9=-4185 \\ -30*13*2=-900 \\ -5*(-11)*20=1100 \\ \\ \\ 9*(-11)*30=-2970 \\ 20*15*15=4500 \\ 2*31*5=310 \\ \\ detBA=-4185-900+1100-2970+4500+310=-2145 \\ \\ detBA=-2145$


Com isso, sei que o detAB= -2531, e o detBA= -2145