Question

dadas as matrizes A e B abaixo calcule o det AB

A- 1 2 3 B- 0 0 1
-3 -2 -1. 2 0 -1
-1 3 -2 6 5 2​

Answer 1

Olá, boa noite!

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Leia abaixo.

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( DEFINIÇÃO DE MATRIZ )  

✎Matriz é uma tabela organizada em linhas e colunas (aij) onde; "i" indica a linha do elemento (aij) "j" indica sua coluna.

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( MATRIZ TRANSPOSTA )  

✎ A matriz transposta é a matriz: $\sf A^t$ , para calcular tal matriz devemos alterar a primeira linha e transformá-la em primeira coluna, depois segunda linha e transformá-la em segunda coluna, e por aí vai...

( SOMA DE MATRIZES )  

✎ para somar matrizes deve-se somar o primeiro termo de matriz pelo primeiro termo da outra matriz, em seguida o segundo termo da primeira matriz pelo segundo termo da segunda matriz, e assim vai...

( SUBTRAÇÃO DE MATRIZES )    

✎ para subtrair matrizes deve-se subtrair o primeiro termo de matriz pelo primeiro termo da outra matriz, em seguida o segundo termo da primeira matriz pelo segundo termo da segunda matriz, e assim vai... exatamente igual a soma de matrizes, mas invés de somar deve-se subtrair.

( MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES )  

✎ Para que possamos multiplicar uma matriz devemos multiplicar a 1ª linha e 1ª coluna, depois devemos multiplicar a 1ª linha e 2ª coluna, depois devemos multiplicar a 2ª linha e 1ª coluna, e por fim devemos multiplicar a 2ª linha e 2ª coluna.

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( Sua questão ):

Dadas as matrizes A e B abaixo calcule o determinante de AB

$\sf A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\-3&-2&-1\\-1&3&-2\end{array}\right)$

$\sf B=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\2&0&-1\\6&5&2\end{array}\right)$

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( Resolução ):

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Para que possamos achar o determinante de AB, primeiro precisamos saber o valor da matriz AB, para encontrar esse valor devemos multiplicar a matriz A pela matriz B, vamos lá!

Como eu havia dito lá no inicio da resposta, para multiplicar matrizes devemos multiplicar a 1ª linha e 1ª coluna, depois devemos multiplicar a 1ª linha e 2ª coluna, depois devemos multiplicar a 2ª linha e 1ª coluna, e por fim devemos multiplicar a 2ª linha e 2ª coluna. ficando assim:

$\sf A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\-3&-2&-1\\-1&3&-2\end{array}\right) \cdot \sf B=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\2&0&-1\\6&5&2\end{array}\right)$

( Primeira linha ):  

$\sf 1\cdot 0+ 2\cdot 2+ 3\cdot 6= 22$

$\sf 1\cdot 0+ 2\cdot 0+ 3\cdot 5= 15$

$\sf 1\cdot 1 + 2\cdot (-1) + 3\cdot 2 = 5$

( Segunda linha ):

$\sf -3 \cdot 0 +(-2) \cdot 2 + (-1)\cdot 6= -10$

$\sf -3 \cdot 0 + (-2)\cdot 0 +(-1)\cdot 5= -5$

$\sf -3\cdot 1+ (-2)\cdot (-1) + (-1)\cdot 2= -3$

( Terceira linha ):

$\sf -1\cdot 0 +3\cdot 2+ (-2)\cdot 6= -6$

$\sf -1\cdot 0+ 3\cdot 0+ (-2)\cdot 5= -10$

$\sf -1\cdot 1 + 3\cdot (-1) +(-2)\cdot 2= -8$

Criamos então a matrizes AB:

$\sf AB=\left(\begin{array}{ccc}22&15&5\\-10&-5&-3\\-6&-10&-8\end{array}\right)$

Agora devemos calcular o determinante da matriz dada por AB, para calcular o determinante de uma matriz 3x3, devemos aplicar a famosa regra de Sarrus, essa regra consiste em copiar as duas primeiras colunas e colar no final da matriz, vamos lá!

$\sf Det(AB)=\left|\begin{array}{ccc}22&15&5\\-10&-5&-3\\-6&-10&-8\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}22&15\\-10&-5\\-6&-10\end{array}\right|$

Todos os termos das três diagonais principais:

$\sf 22\cdot (-5)\cdot(-8)+ 15\cdot (-3)\cdot (-6)+ 5\cdot (-10) \cdot (-10)$

Todos os termos das três diagonais secundárias:

$\sf (-6)\cdot (-5)\cdot 5 +(-10)\cdot (-3)\cdot 22+ (-8)\cdot (-10)\cdot 15$

Subtraindo os termos da DP pelos termos da DS:

$\sf 22\cdot (-5)\cdot(-8)+ 15\cdot (-3)\cdot (-6)+ 5\cdot (-10) \cdot (-10)-\sf (-6)\cdot (-5)\cdot 5 +(-10)\cdot (-3)\cdot 22+ (-8)\cdot (-10)\cdot 15$

$\sf 880 + 270 + 500 - 150 - 660-1200$

$\sf Det(AB)= \boxed{-360}$

Concluirmos então que o Det de AB é igual a -360, espero ter ajudado!