Question

Dadas as matrizes A=(aij)3x3 tal que. Aij=10,se i=j
Aij=0, se i≠j
E B=(bij)3x3 tal que
Bij=3, se i=j
Bij=0, se i≠j

O valor de det(A-B) e:

Answer 1

$\boxed{\begin{array}{l}\sf A=(a_{ij})_{3\times3}~a_{ij}=\begin{cases}\sf 10,~~se~i=j\\\sf0,~se~~~i\ne j\end{cases}\\\sf a_{11}=10~a_{12}=0~a_{13}=0\\\sf a_{21}=0~~a_{22}=10~a_{23}=0\\\sf a_{31}=0~~a_{32}=0~a_{33}=10\\\sf A=\begin{bmatrix}\sf10&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf10&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf10\end{bmatrix}\end{array}}$

$\boxed{\begin{array}{l}\sf B=(b_{ij})_{3\times3}~~b_{ij}=\begin{cases}\sf 3,~~se~~i=j\\\sf0,~~se~~i\ne j\end{cases}\\\sf b_{11}=3~~b_{12}=0~~b_{13}=0\\\sf b_{21}=0~~b_{22}=3~~b_{23}=0\\\sf b_{31}=0~~b_{32}=0~~b_{33}=3\\\sf B=\begin{bmatrix}\sf3&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf3&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf3\end{bmatrix}\end{array}}$

$\boxed{\begin{array}{l}\sf A-B=\begin{bmatrix}\sf10-3&\sf0-0&\sf0-0\\\sf0-0&\sf10-3&\sf0-0\\\sf0-0&\sf0-0&\sf10-3\end{bmatrix}\\\\\sf A-B=\begin{bmatrix}\sf7&\sf0&\sf0\\\sf0&\sf7&\sf0\\\sf0&\sf0&\sf7\end{bmatrix}\\\sf det~(A-B)=7\cdot(49)-0\cdot(0)-0\cdot(0)\\\sf det~(A-B)=343\end{array}}$

Answer 2

O determinante de A-B é 343.

Matrizes

Para responder essa questão, devemos considerar que:

• a soma de matrizes só pode ser feita entre raízes de mesma ordem e o resultado é uma matriz cujos elementos é igual a soma dos respectivos elementos das outras matrizes;

• o determinante de uma matriz 3x3 é dado pela regra de Sarrus.

Primeiramente, devemos escrever as matrizes A e B. De acordo com as leis de formação, temos:

$A=\left[\begin{array}{ccc}10&0&0\\0&10&0\\0&0&10\end{array}\right] \\B=\left[\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{array}\right]$

Ao subtrair A e B, teremos:

$A-B=\left[\begin{array}{ccc}10-3&0&0\\0&10-3&0\\0&0&10-3\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}7&0&0\\0&7&0\\0&0&7\end{array}\right]$

Como a matriz possui elementos não-nulos apenas na diagonal principal, o determinante será dado pelo produto entre estes elementos:

det(A-B) = 7×7×7 = 343

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