Question

Dadas as matrizes A = (aij)₂̲ₓ̲₃̲, com aij = 2j - i; B = (bij)₃̲ₓ̲₁̲, com bij = i; e C = A x B, determine o elemento c₂̲₁̲ da matriz C.

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre matrizes.

Dadas as matrizes $A=(a_{ij})_{2\times3}$ com lei de formação $a_{ij}=2j-i$ e $B=(b_{ij})_{3\times1}$ com lei de formação $b_{ij}=i$. Sabendo que $C=A\times B$, devemos determinar o elemento $c_{21}$ da matriz $C$.

Primeiro, lembre-se que o produto de matrizes só ocorre quando o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda. A matriz resultante terá o mesmo número de linhas da primeira e mesmo número de colunas da segunda, isto é: $A_{m\times n}\times B_{n\times p}=C_{m\times p}$.

Dessa forma, sabemos que a matriz $C$ é tal que $C=(c_{ij})_{2\times 1}$.

Cada elemento da matriz resultante é calculado como a soma dos produtos dos elementos respectivos entre linhas e colunas, como no exemplo a seguir utilizando matrizes quadradas de ordem $2$: $A_{2\times2}\times B_{2\times2}=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix}e&f\\g&h\\\end{matrix}\right)=C_{2\times2}=\left(\begin{matrix}a\cdot e+b\cdot g&a\cdot f+b\cdot h\\c\cdot e+d\cdot g&c\cdot f+d\cdot h\\\end{matrix}\right)$.

Facilmente, podemos ver que o elemento $c_{21}$ da matriz resultante, pertencente a segunda linha e primeira coluna é igual ao produto dos elementos $a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{12}$.

No caso das matrizes $A_{2\times3}$ e $B_{3\times 1}$, têm-se que $c_{21}=a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{12}+a_{23}\cdot b_{13}$.

Com isso, substituímos as linhas e colunas nas leis de formação e teremos a expressão final:

$c_{21}=(2\cdot1-2)\cdot1+(2\cdot2-2)\cdot2+(2\cdot3-2)\cdot3$

Multiplique e some os valores

$c_{21}=(2-2)\cdot1+(4-2)\cdot2+(6-2)\cdot3\\\\\\ c_{21}=0\cdot1+2\cdot2+4\cdot3\\\\\\ c_{21}=16~~\checkmark$

Este é o elemento que buscávamos.