Question

dadas as matrizes A= [-4 3 12] e B= [1 0 -1 3], calcule o determinante da matriz 3A • B​

Answer 1

Dada as matrizes:

$\begin{array}{l}\\\sf A=\left[\begin{array}{ccc}\!\!\!\!\sf-4&\sf3\\\sf1&\sf2\end{array}\right]\quad e\quad B=\left[\begin{array}{ccc}\sf1&\sf0\\\sf\!\!\!\!-1&\sf3\end{array}\right]\\\\\end{array}$

Vamos primeiro encontrar a matriz 3A * B:

$\begin{array}{l}\\\sf3A\cdot B=3\cdot\left[\begin{array}{ccc}\!\!\!\!\sf-4&\sf3\\\sf1&\sf2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}\sf1&\sf0\\\sf\!\!\!\!-1&\sf3\end{array}\right]\\\\\end{array}$

Para multiplicar um número por uma matriz, basta multiplicá-lo por todos os elementos:

$\begin{array}{l}\\\sf3A\cdot B=\left[\begin{array}{ccc}\sf3\cdot(-4)&\sf3\cdot3\\\sf3\cdot1&\sf3\cdot2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}\sf1&\sf0\\\sf\!\!\!\!-1&\sf3\end{array}\right]\\\\\sf3A\cdot B=\left[\begin{array}{ccc}\sf\!\!\!\!-12&\sf9\\\sf3&\sf6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}\sf1&\sf0\\\sf\!\!\!\!-1&\sf3\end{array}\right]\\\\\end{array}$

Agora vamos efetuar o produto destas duas matrizes.

Neste caso é possível, pois para isso ocorrer uma matriz deve ter o número de colunas igual ao número de linhas da outra. Veja que:

• 1ª Matriz = 2x2 → 2 colunas
• 2ª Matriz = 2x2 → 2 linhas

$~~$

Para multiplicá-las, em uma linha multiplique cada elemento da 1ª matriz por cada elemento da coluna da 2ª matriz:

$\begin{array}{l}\\\sf3A\cdot B=\left[\begin{array}{ccc}\!\!\!\!\sf-12\cdot1+9\cdot(-1)&\!\!\sf-12\cdot0+9\cdot3\\\sf3\cdot1+6\cdot(-1)&\sf3\cdot0+6\cdot3\end{array}\right]\\\\\sf3A\cdot B=\left[\begin{array}{ccc}\!\!\!\!\sf-12-9&\sf0+27\\\sf3-6&\sf0+18\end{array}\right]\\\\\sf3A\cdot B=\left[\begin{array}{ccc}\sf\!\!\!\!-21&\sf27\\\!\!\!\!\sf-3&\sf18\end{array}\right]\\\\\end{array}$

Encontrado a matriz desejada, vamos agora encontrar o valor de seu determinante, que foi pedido.

Para isso, sendo uma matriz 2x2 basta fazer o produto uma diagonal, e subtrair do produto de outra diagonal:

$\begin{array}{l}\\\sf det(3A\cdot B)=\left|\begin{array}{ccc}\!\!\!\!\sf-21&\sf27\\\!\!\!\!\sf-3&\sf18\end{array}\right|\\\\\sf det(3A\cdot B)=(-21)\cdot18-[27\cdot(-3)]\\\\\sf det(3A\cdot B)=-378-[-81]\\\\\sf det(3A\cdot B)=-378+81\\\\\!\boxed{\sf det(3A\cdot B)=-297}\\\\\end{array}$

Resposta: assim, o determinante da matriz 3A * B é – 297.

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Att. Nasgovaskov

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