Question

Dadas as matrizes A= [1 3 3 1] e B = [5 2 2 0], calcule a seguinte expressão: 4A.B - 5A^-1
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Answer 1

A matriz resultante da expressão é $\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc}37/8 & 81/8\\81/8 & 37/8\end{array}\right)\end{displaymath}$.

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Vamos primeiramente calcular a matriz inversa de A. Lembre-se que tal matriz A⁻¹ satisfaz, por definição, a seguinte igualdade:

A . A⁻¹ = I₂

Representando genericamente os elementos de A⁻¹:

A⁻¹ = $\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right)\end{displaymath}$

Assim,

$\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc}1 & 3\\3 & 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\end{displaymath}$

Resolvendo:

a + 3c = 1

3a + c = 0            ⇒           a = -1/8    c = 3/8  

b + 3d = 0

3b + d = 1            ⇒           b = 3/8    d = -1/8  

A⁻¹ = $\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc}-1/8 & 3/8\\3/8 & -1/8\end{array}\right)\end{displaymath}$

A seguir, calcula-se o produto de A por B:

A . B = $\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc}1 & 3\\3 & 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}5 & 2\\2 & 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}5+6 & 2+0\\15+2 & 6+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}11 & 2\\17 & 6\end{array}\right)\end{displaymath}$

Por fim, calcula-se a expressão:

4 . $\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc}11 & 2\\17 & 6\end{array}\right)\end{displaymath}$ - 5 .$\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc}-1/8 & 3/8\\3/8 & -1/8\end{array}\right)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc}44 & 8\\68 & 24\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}-5/8 & 15/8\\15/8 & -5/8\end{array}\right)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc}37/8 & 81/8\\81/8 & 37/8\end{array}\right)\end{displaymath}$

Até mais!