Question

Dadas as funções abaixo determine:

1) f(x) = x² ‒ 4x ‒ 5

2) f(x) = x² ‒ 4x + 4

3) f(x) = x² ‒ 2x + 6

DE CADA FUNÇÃO ACIMA, DETERMINE:

a) Os zeros ou raízes

b) A concavidade (se é para baixo ou para cima)

c) As coordenadas do vértice

d) O valor máximo ou mínimo​

Answer 1

Resposta:

Inicialmente partimos da premissa de que uma função possui a seguinte Lei de Formação:

$Y = F(X) = Ax^2 + Bx + C$, onde X é a variável que se relaciona com Y e a, b e c são os coeficientes.

Além disso, nota-se que podemos determinar as raízes ou zeros da função por meio do uso de Bháskara ou pela soma e produto.

A concavidade é determinada pelo coeficiente "A", se ele for positivo, diz-se que é para baixo, se ele for negativo, afirma-se que é para cima. Perceba também, que a concavidade diz se a função tem um ponto máximo ou mínimo.

A< 0 => Ponto máximo, representado pelo Y do vértice.

A > 0 => Ponto mínimo, representado pelo Y do vértice

O X do vértice serve para referenciar qual é a posição da abcissa (Eixo X ou horizontal) em que o ponto máximo ou mínimo se encontram.

Levando em consideração os pontos supracitados, faremos os execícios:

1) $f(x) = x^2 - 4x - 5$

a) $S = X1 + X2$; $P = X1.X2$ ou

$4 = X1 + X2 \\-5 = X1.X2$  as raízes são 5 e -1 , pois 5.-1 = -5 e 5 -1 = 4

como o Coeficiente "A" que acompanha o X é 1, afinal, quando um Nº não acompanha a variável, isso implica que ele é 1 ou -1, mas como não há sinal negativo, significa que ele é 1. Isso denota que a função possui um ponto mínimo (Vide parte superior), logo a concavidade é para baixo. (Resposta para a letra B)

As coordenadas do vértice serão dadas por:

$Xv = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2} = 2$

$Yv = \frac{-(b^2-4.a.c)}{4a} = \frac{-(16 + 20)}{4} = \frac{-36}{4} = -9$ note que o Yv de uma função com a>0 é menor ou igual a zero.

C)  (2, -9)

D) o valor mínimo é -9 (representa o Yv)

2) $f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

como a função é um quadrado perfeito, isso indica que o delta vale 0. O delta nulo indica que a parábola tangenciará (Tocará) o eixo X.

a) a raíz é 2

b) a concavidade é para cima, pois A > 0

c) $Xv = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2} = 2\\Yv = \frac{-(b^2 - 4.a.c)}{4a} = \frac{0}{4} = 0$  logo (2,0)

d) O valor mínimo é 0

3) $f(x) = x^2 - 2x + 6$

a) $b^2 - 4.a.c = 4 - 4.(1).(6) = 4 - 24 = -20$ como o delta é negativo, significa que não há raízes reais.

b) A concavidade é para cima, visto que A >0

c) Não há vértice, pois a parábola não encosta no eixo X

d) Não há valor máximo ou mínimo, pois a parábola não tangencia o eixo X.

Answer 2

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1)

$\sf{f(x)=x^2-4x-5}\\\tt{a)}~\sf{x^2-4x-5=0}\\\sf{\Delta=b^2-4ac}\\\sf{\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)}\\\sf{\Delta=16+20}\\\sf{\Delta=36}\\\sf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\sf{x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{36}}{2\cdot1}}\\\sf{x=\dfrac{4\pm6}{2}}\begin{cases}\sf{x_1=\dfrac{4+6}{2}=\dfrac{10}{2}=5\checkmark}\\\sf{x_2=\dfrac{4-6}{2}=-\dfrac{2}{2}=-1\checkmark}\end{cases}\\\sf{A(-1,0),B(5,0)}$

$\tt{b)}~\sf{concavidade~para~cima~pois~a=1>0}$

$\tt{c)}~\sf{x_V=-\dfrac{b}{2a}}\\\sf{x_V=-\dfrac{-4}{2\cdot1}=\dfrac{4}{2}=2}\\\sf{y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}}\\\sf{y_V=-\dfrac{36}{4\cdot1}}\\\sf{y_V=-\dfrac{36}{4}=-9}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf{V\left(2,-9\right)}}}}}$

$\tt{d)}~\sf{o~min/max~ocorre~no~y_V}\\\sf{como~a=1>0~admite~min~e~esse~valor~\acute{e}~-9}$

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2)

$\sf{f(x)=x^2-4x+4}\\\tt{a)}~\sf{x^2-4x+4=0}\\\sf{\Delta=16-16=0}\\\sf{x=\dfrac{4\pm0}{2}}\\\sf{x_1=x_2=\dfrac{-(-4)}{2}=\dfrac{4}{2}=2}$

$\tt{b)}~\sf{a=1}>0\implies~concavidade~para~cima$

$\tt{c)}~\sf{x_V=-\dfrac{-4}{2\cdot1}=\dfrac{4}{2}=2}\\\sf{y_v=\dfrac{0}{4\cdot1}=0}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf{V(2,0)}}}}}$

$\tt{d)}~\sf{a=1>0\implies admite~valor~m\acute{i}nimo~este~vale~2}$

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3)

$\sf{f(x)=x^2-2x+6}\\\tt{a)}~\sf{x^2-2x+6=0}\\\sf{\Delta=4-24=-20<0\implies\not\exists x\in\mathbb{R}}\\\tt{b)}~\sf{a=1>0\implies concavidade~para~cima}\\\tt{c)}~\sf{x_V=-\dfrac{-2}{2\cdot1}=\dfrac{2}{2}=1}\\\sf{y_V=-\dfrac{-20}{4\cdot1}=\dfrac{20}{4}=5}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf{V(1,5)}}}}}}\\\tt{d)}~\sf{a=1>0\implies admite~m\acute{i}nimo~este~valor~\acute{e}~5}$