Dadas as equações cartesianas das retas r : (n+1)x+4y = 5 e s : 2x+(n−1)y = c. Encontre as equações paramétricas das retas r e s respetivamente e determine os valores de n e c tal que as retas sejam coincidentes.
Soluções para a tarefa
As equações paramétricas das retas r e s são:
{x = -4t
{y = 4t + 5/4.
Os valores de n são -3 e 3 e c vale 5/2 e -5.
Na reta r, temos que o vetor normal é u = (n + 1,4).
Já na reta s, temos que o vetor normal é v = (2,n - 1).
Se queremos que as retas r e s sejam coincidentes, então os vetores u e v deverão ser múltiplos.
Sendo assim, temos que:
(n + 1,4) = λ(2,n - 1)
(n + 1,4) = (2λ, λ(n - 1))
Ou seja,
{n + 1 = 2λ
{4 = λ(n - 1)
Da primeira equação, temos que λ = (n + 1)/2.
Então:
4 = (n + 1)(n - 1).1/2
8 = n² - n + n - 1
n² = 9
n = ± 3.
Se n for igual a 3, teremos:
r: 4x + 4y = 5
s: 2x + 2y = c.
Então, podemos afirmar que c = 5/2.
Se n = -3, então:
r: -2x + 4y = 5
s: 2x - 4y = c.
Logo, c = -5.
O vetor u' = (-4,4) é paralelo à reta r e o ponto (0,5/4) pertence à mesma.
Logo, as suas paramétricas são:
{x = -4t
{y = 4t + 5/4.
Como r e s são coincidentes, então a paramétrica acima serve para s.