Dadas as equações cartesianas das retas r : (n+1)x+4y = 5 e s : 2x+(n−1)y = c. Encontre as equações paramétricas das retas r e s respetivamente e determine os valores de n e c tal que as retas sejam coincidentes.
Soluções para a tarefa
A paramétrica de r é:
{x = -4t
{y = 5/4 + (n + 1)t.
A paramétrica de s é:
{x = c/2 + k(n - 1)
{y = -2k.
Os valores de n são -3 e 3; Os valores de c são 5/2 e -5.
Para montarmos as equações paramétricas das retas, precisamos de um vetor direção e um ponto.
Na reta r: (n + 1)x + 4y = 5, o vetor (n + 1,4) é normal. Então, o vetor (-4,n + 1) é direção.
O ponto (0,5/4) pertence à reta r. Logo, as paramétricas são:
{x = -4t
{y = 5/4 + (n + 1)t.
Na reta s: 2x + (n - 1)y = c, o vetor (2, n - 1) é normal. Logo, o vetor (n - 1, -2) é diretor.
O ponto (c/2,0) pertence à reta s. Logo, as paramétricas são:
{x = c/2 + k(n - 1)
{y = -2k.
Para que as retas r e s sejam coincidentes, os vetores (-4,n + 1) e (n - 1, -2) deverão ser múltiplos.
Ou seja,
(-4, n + 1) = λ(n - 1, -2)
(-4, n + 1) = (λ(n - 1), -2λ)
Assim:
{λ(n - 1) = -4
{-2λ = n + 1
De -2λ = n + 1, obtemos λ = -(n + 1)/2.
Logo:
-(n + 1)(n - 1)/2 = -4
(n + 1)(n - 1) = 8
n² - 1 = 8
n² = 9
n = ± 3.
Se n = 3, então:
r: 4x + 4y = 5
s: 2x + 2y = c.
Logo, c = 5/2.
Se n = -3, então:
r: -2x + 4y = 5
s: 2x - 4y = c.
Logo, c = -5.