Question

Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas.

I - \(ydx+xdy=0\)

II - \((x-2y)dx+(x+y)dy=0\)

III - \((2x^{2}-y)dx+(x+y)dy=0\)


Apenas a III.
Apenas a II.
I, II e III são exatas.
I, II e III são não exatas.
Apenas a I.

Answer 1

Seja M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0.

Uma EDO será exata quando 

$M_y = N_x$

I. ydx + xdy = 0

Nessa EDO temos que:

M = y e N = x

Derivando:

$M_y = 1$

$N_x = 1$

Como $M_y = N_x$, então a EDO ydx + xdy = 0 é exata.

II) (x - 2y)dx + (x + y)dy = 0

Agora, temos que:

M = x - 2y

e

N = x + y

Derivando:

$M_y = -2$

$N_x = 1$

Perceba que os resultados são diferentes. Portanto, a EDO (x - 2y)dx + (x + y)dy = 0 não é exata.

III) (2x² - y)dx + (x + y)dy = 0

Nesse caso temos que:

M = 2x² - y

e

N = x + y

Derivando:

$M_y=-1$

$N_x = 1$

Como os resultados são diferentes, então a EDO (2x² - y)dx + (x + y)dy = 0 não é exata.

Portanto, a alternativa correta é a letra e) Apenas a I.