Question

dadas as desigualdades em R... O menor intervalo que contém todos os valores de x que satisfazem simultaneamente a desigualdade um e dois ​

Answer 1

O intervalo que obedece simultaneamente ambas as desigualdade é x < 1/2 e x ≥ - 1/3. Letra d).

O primeiro passo aqui é organizamos as desigualdades somente em função de x:

I - A desigualdade é:

3x + 1 < - x + 3 < -2x + 5

Vamos separá-la em duas partes, a primeira será:

3x + 1 < -x + 3

Somando x em ambos os lados:

4x + 1 < 3

4x < 2

x < 1/2

A segunda parte é:

-x + 3 < -2x + 5

Somando 2x em ambos os lados:

x + 3 < 5

x < 8

Portanto, devemos obedecer as duas condições simultaneamente:

x < 1/2 e x < 8

Logo, apenas a condição x < 1/2 será utilizada, visto que se pegarmos, por exemplo x = 7, que satisfaz a segunda condição, não satisfará a primeira, por isso apenas x < 1/2 satisfará as duas ao mesmo tempo.

II - (4x - 1)/(x - 2) ≤ 1

Para x > 2 podemos multiplicar ambos os lados por x - 2 sem problemas, resultando em:

(4x - 1)*(x - 2)/(x - 2) ≤ x - 2

4x - 1 ≤ x - 2

Subtraindo x dos dois lados:

4x - 1 - x ≤ x - 2 - x

3x - 1 ≤ - 2

Somando 1 nos lados:

3x ≤ - 1

x ≤ -1/3

Se considerarmos x ≤ - 1/3 como verdadeira devemos trocar a desigualdade para x ≥ -1/3 pois a condição x ≤ -1/3 não satisfaz a condição x > 2 imposta no inicio, mas satisfaz a condição x < 2 (também apenas invertendo a desigualdade).

Vamos ter então as duas desigualdades a serem satisfeitas:

x < 1/2 e x ≥ - 1/3

Letra d) é a correta.

Você pode aprender mais sobre Inequações aqui: https://brainly.com.br/tarefa/19131028