Question

-Dadas as circunferências λ1 e λ2, descubra suas posições relativas e seus pontos comuns (se houver):
a)λ1: x² + y² - 4x - 8y - 5 = 0
λ2: x² + y² - 2x - 6y + 1 = 0

b)λ1: x² + y² - 8x - 4y + 10 = 0
λ2: x² + y² - 2x - 10y + 22 = 0

c)λ1: (x - 2)² + (y - 1)² = 4
λ2: (x - 2)² + (y + 2)² = 1

d)λ1: x² + y² = 16
λ2: x² + y² + 4y = 0

Answer 1

a) λ1: x² + y² - 4x - 8y - 5 = 0

   λ2: x² + y² - 2x - 6y + 1 = 0

Primeiro, começa com um sistema de equação

{x² + y² - 4x - 8y - 5 = 0

{x² + y² - 2x - 6y + 1 = 0  * (-1) [multiplica por -1 pra poder eliminar termos opostos]

{x² + y² - 4x - 8y - 5 = 0

{-x² - y² + 2x + 6y - 1 = 0

= -2x - 2y - 6 = 0 [resultado depois de resolver as contas]

-2x - 2y - 6 = 0 :(2) [simplificando por 2]

- x - y - 3 = 0

- y = x + 3 * (-1)

y = - x - 3

Feito isso, substituiremos o valor encontrado em uma das equações:

x² + y²  - 4x - 8y - 5 = 0

x² + (-x -3)² - 4x - 8 (-x - 3) - 5 = 0  

x² + x² + 6x + 9 - 4x + 8x + 24 - 5 = 0   [produto notável]

2x² + 10x + 28 = 0 :(2)   [simplificando por 2]

x² + 5x + 14 = 0  [equação de 2º grau]

∆ = b2 - 4ac

∆ = (5) ∙ 2 - 4 ∙ 1 ∙ 14  

∆ = 25 - 56

∆ = - 31, pode ser interna ou externa

Agora, descobrir os centros e os raios das duas equações

λ1: x² + y² - 4x - 8y - 5 = 0

x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0

-2ax = -4x                                                        -2by = -8y

a =  - 4x/- 2x                                                     b = - 8y/ - 2y

a = 2                                                                 b = 4

Centro de λ1: (2,4)

r² = onsl + a² + b² [onsl = número sem letra]

r² = 5 + 2² + 4²

r² = 5 + 4 + 16

r² = 25

r = √25

Raio de λ1: 5

λ2: x² + y² - 2x – 6y + 1 = 0

-2ax = -2x                                                         -2by = 6y

a = -2x/-2x                                                         b = -6y/-2y

a = 1                                                                    b = 3

Centro de λ2: (1,3)

r² = - 1 + 1² + 3²

r² = - 1 + 1 + 9

r² = 9

r = √9

Raio de λ2: 3

Chegando ao final, vamos calcular a distância entre os dois centros

DC1C2 = √(xc2 - xc1) ² + (yc2 - yc1)²

DC1C2 = √(1 - 2)² + (3 - 4)²

DC1C2 = √(- 1)² + (- 1)²

DC1C2 = √1 + 1

DC1C2 = √2

Com a distância, só falta mais uma operação envolvendo os raios

r1 + r2 = 5 + 3 = 8

|r1 − r2| = |5 − 3| = 2 [os | representam o módulo]

√2 < 2                       DC1C2 < |r1 − r2|

λ2 é interior a λ1 e não tem pontos em comum.

b)λ1: x² + y² - 8x - 4y + 10 = 0

  λ2: x² + y² - 2x - 10y + 22 = 0

Sistema de equação:

{x² + y² - 2x - 10y + 22 = 0 (-1)

{x² + y² - 8x - 4y + 10 = 0

{-x² - y² + 2x + 10y - 22 = 0  [equação pós troca de sinal]

{x² + y² - 8x – 4y + 10 = 0

- 6x + 6y - 12 = 0 :(6) [é bom simplificar sempre que possível]

- x + y - 2 = 0

y = x + 2

Substituição:

x² + y² - 8x - 4y + 10 = 0

x² + (x + 2)² - 8x - 4(x + 2) + 10 = 0

x² + x² + 4x + 4 - 8x - 4x - 8 + 10 = 0

2x² - 8x + 6 = 0 :(2)

x² - 4x + 3 = 0 [equação de 2º grau, bora pro delta]

*se preferir, pode usar soma e produto

∆ = (-4)² - 4 ∙ 1 ∙ 3

∆ = 16 - 12

∆ = 4 , secante

Agora nós iremos colocar o valor de delta na fórmula

x =  −b±√∆ /2a

x =  4±√4 /2

x =  4±2 /2

Vamos pegar os dois possíveis valores para x

x’ =  4 + 2 /2  =  6 /2

x' = 3

x’’ =  4 - 2 /2  =  2 /2

x'' = 1

Com esses dois valores, iremos substituir ambos na equação encontrada anteriormente (y = x + 2)

x': y = 3 + 2                                              x'': y = 1 + 2

y = 5                                                             y = 3

A (3,5)                                                     B (1,3)

As equações tem dois pontos em comum, A (3,5) e B (1,3)

c)λ1: (x - 2)² + (y - 1)² = 4

λ2: (x - 2)² + (y + 2)² = 1

Sendo equações reduzidas, podemos ter o valor do centro e do raio logo de cara

λ1: C (2,1) r = 2

λ2: C (2,-2) r = 1

Agora, a distância entre os centros

DC1C2 = √(2 - 2) ² + (-2 - 1)²

DC1C2 = √0 ² + (-3)²

DC1C2 = √9

DC1C2 = 3

Operação envolvendo os raios:

r1 + r2 = 2 + 1 = 3

|r1 − r2| = |2 − 1| = 1

DC1C2 = r1 + r2, tangentes externas

Agora, vamos ver possíveis pontos em comum

Transformando as equações em equações gerais:

λ1: x² + y² - 4x - 2y + 1 = 0

λ2: x2 + y2 - 4x + 4y + 7 = 0

Sistema de equação:

{x² + y² - 4x - 2y + 1 = 0

{x² + y² - 4x + 4y + 7 = 0 (-1)

{x² + y² - 4x - 2y + 1 = 0

{- x² - y² + 4x - 4y - 7 = 0

- 6y - 6 = 0

- 6y = 6 (-1)

6y = - 6

y =  - 6 /6

y = -1

Substituir o valor encontrado em uma das equações:

x² + y² - 4x - 2y + 1 = 0

x² + (-1)² - 4x - 2 ∙ (-1) + 1 = 0

x² + 1 - 4x + 2 + 1 = 0

x² - 4x + 4 = 0

(x – 2)² = 0

x - 2 = √0

x - 2 = 0

x = 2

O ponto em comum das circunferências é A (2, -1)

d)λ1: x² + y² = 16

  λ2: x² + y² + 4y = 0

Sistema de equação:

{x² + y² = 16 (-1)

{x² + y² + 4y = 0

{- x² - y² = - 16

{x² + y² + 4y = 0

4y = -16

y =  -16 /4

y = - 4

Substituindo o valor em uma das equações:

x² + y² = 16

x² + (-4)² = 16

x² + 16 = 16

x² = 16 - 16

x² = 0

x = 0

Ponto em comum: A (0, -4)

Agora, descobrir a posição das circunferências a partir das equações

λ1: C (0,0) r = 4 [por ser uma equação reduzida, é fácil encontrar os valores do centro e do raio]

λ2: -2by = 4y

     b = 4y/-2y

     b = -2

Como essa equação não tem outros x, podemos dizer que a = 0

C (0, -2)

r² = 0 + 0² + (-2)²

r² = 4

r² = √4

r = 2

Calculando a distância entre os centros:

DC1C2 = √(0 − 0) ² + (- 2 - 0)²

DC1C2 = √0 ² + (-2)²

DC1C2 = √4

DC1C2 = 2

r1 + r2 = 4 + 2 = 6

|r1 − r2| = |4 − 2| = 2

DC1C2 = |r1 − r2| , tangentes internas