Question

Dadas a matriz A= $\left[\begin{array}{ccc}2&-1\\5&-3\\\end{array}\right]$


Determine a inversa de A.

Answer 1

Olá

Há uma pequena técnica de se obter a matriz inversa 2x2

1º - Calcula o determinante da matriz A
fazendo pelo método de sarrus.

$A=\left[\begin{array}{ccc}2&-1\\5&-3\\\end{array}\right] = \\ \\ \\ (2\cdot(-3))-(5\cdot(-1))= \\ \\ -6+5= \boxed{-1}$


2º - Troca a posição dos elementos da diagonal principal (\)(só a posição), e troca o sinal dos elementos da diagonal secundária (/) (só o sinal).

A matriz vai ficar assim

$\left[\begin{array}{ccc}-3&1\\-5&2\\\end{array}\right]$


3º - Agora é só dividir essa matriz pelo resultado do determinante que encontramos no 1º passo.

Nesse caso, como o determinante deu -1, basta trocar os sinais de todos os elementos, já que o 1 é neutro, somente o sinal negativo que irá ficar diferente

$\left[\begin{array}{ccc} \frac{-3}{-1} & \frac{1}{-1} \\ \\ \frac{-5}{-1} & \frac{2}{-1} \\\end{array}\right]$


Então a inversa da matriz "A" fica sendo

$\boxed{\boxed{A^-^1=\left[\begin{array}{ccc}3&-1\\5&-2\\\end{array}\right]}}$

Answer 2

[  2    - 1]   [  a     b]  =   [  1     0]
[   5   - 3]   [  c     d]       [   0    1]

[2a - c = 1       2b - d = 0  ]
[5a - 3c = 0     5b - 3d = 1]

2a - c = 1
2a - 1 = c
c = 2a - 1

5a - 3c = 0
5a = 3c
5a = 3.(2a - 1)
5a = 6a - 3
3 = 6a - 5a
3 = a
a = 3

5a = 3c
5.3 = 3c
15 = 3c
3c = 15
c = 15/3
c = 5

2b - d = 0
5b - 3d = 1

2b = d
d = 2b

5b - 3d = 1
5b - 3.2b = 1
5b - 6b = 1
- b = 1
b = - 1 

d = 2b
d = 2.(-1)
d = - 2

Resposta: 

    - 1
A     = [   3  - 1]
           [   5  - 2]