Question

Dada uma progressão aritmética (an) tal que
a1+⋯+a100=100
a101+⋯+a200=200
$(a 1 + ... + a100 = 100 \div a101 + ... + a200 = 200)$
Qual é o valor de seu primeiro termo, a1, e de sua razão, r?
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Answer 1

O valor do primeiro termo e da razão da progressão aritmética são 0,505 e 0,01, respectivamente.

A soma dos termos de uma PA finita é dada por:

Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2

Portanto, da primeira soma, temos:

S₁₀₀ = (a₁ + a₁₀₀)·100/2

100 = (a₁ + a₁₀₀)·100/2

a₁ + a₁₀₀ = 2

a₁₀₀ = 2 - a₁

S₂₀₀ = (a₁ + a₂₀₀)·200/2

300 = (a₁ + a₂₀₀)·200/2

a₁ + a₂₀₀ = 3

a₂₀₀ = 3 - a₁

Seja o termo geral dado por aₙ = a₁ + (n - 1)·r, temos:

a₁₀₀ = a₁ + 99r

2 - a₁ = a₁ + 99r

2a₁ + 99r = 2

a₂₀₀ = a₁ + 199r

3 - a₁ = a₁ + 199r

2a₁ + 199r = 3

Subtraindo as equações, encontramos r:

100r = 1

r = 0,01

Substituindo r, encontramos a₁:

2a₁ + 99·0,01 = 2

2a₁ = 1,01

a₁ = 0,505

Answer 2

O primeiro termo da progressão aritmética é igual a 0,505 e a razão é igual a 0,01.

O que é uma progressão aritmética?

Uma sequência numérica é chamada progressão aritmética ou PA se cada termo pode ser obtido do termo anterior pela soma de uma constante, essa constante é chamada razão.

Se tivermos o valor do termo de ordem n de uma progressão aritmética e o valor da sua razão r, e quisermos calcular o termo de ordem m, podemos utilizar a expressão:

$a_m = a_n + (n -1)*r$

Dessa fórmula podemos obter que a soma de dois termos cujas somas das ordens são iguais é sempre o mesmo valor, ou seja, se $n1 + m1 = n2 + m2$, então temos a seguinte igualdade:

$a_{n1} + a_{m1} = a_{n2} + a_{m2}$

Dessa forma, temos que:

$a_1 + a_{100} = 100/50 = 2$

$a_{101} + a_{200} = 200/50 = 4$

Resolvendo esse sistema de equações, temos os valores do primeiro termo e da razão da PA descrita:

$a_1 + a_1 + (100 - 1)*r = 2$

$a_1 + (101 - 1)*r + a_1 + (200 - 1)*r = 4$

$2a_1 + 99r = 2$

$2a_1 + 299r = 4$

$200r = 2$

$r = 0,01$

$a_1 = (2 - 99*0,01)/2[\tex]</p><p>[tex]a_1 = 0,505$

Para mais informações sobre progressão aritmética, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/6535552

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