Question

Dada uma PA a3 + a1 = 2, qual é o valor de a1 + a9

Answer 1

Olá.

Temos que a3+a1=2 e queremos saber a1+a9.
Seguindo conceitos que foram citados em outras respostas, vamos trabalhar 
$\left\{\begin{array}{ccc}\mathsf{a_3+a_1=2}\\\mathsf{a_1+a_9=?}\\\\\mathsf{a_3+a_1=}&\mathsf{a_1+2r+a_1=}&\mathsf{2a_1+2r}\\\mathsf{a_1+a_9=}&\mathsf{a_1+8r+a_1=}&\mathsf{2a_1+8r}\end{array}\right$

Note que os dois são bem semelhantes. Existe a regra de o valor do termo aumenta de acordo com a razão. Assim, faremos:
$\mathsf{2a_1+2r=2}\\\\ \mathsf{2a_1+(2r)\cdot4=2\cdot4~-\ \textgreater \ 2a_1+8r}\\\\ \mathsf{Cresce~sempre~a~raz\~ao~junto~do~valor~final.}\\\\ \boxed{\mathsf{2a_1+8r=8}}$

Agora temos como encontrar a razão e definir a P.A.
$\mathsf{2a_1+8r=8}\\ \mathsf{2a_1=8-8r}\\\\\\ \mathsf{2a_1+2r=2}\\ \mathsf{2a_1=2-2r}\\\\\\ \mathsf{8-8r=2-2r}\\ \mathsf{-8r+2r=2-8}\\ \mathsf{-6r=-6}\\\\ \mathsf{r=\dfrac{-6}{-6}=\boxed{\mathsf{+1}}}$
$\mathsf{2a_1+8r=8}\\ \mathsf{2a_1+8\cdot1=8}\\ \mathsf{2a_1+8=8}\\ \mathsf{(2a_1+8=8)^{:2}}\\ \mathsf{a_1+4=4}\\ \mathsf{a_1=4-4}\\ \boxed{\mathsf{a_1=0}}$

Podemos fazer a P.A apenas adicionando a razão linearmente.
$\mathsf{P.A=\{a_1,~a_2,~a_3,~a_4,~a_5,~a_6,~a_7,~a_8,~a_9\}} \\\boxed{\mathsf{P.A=\{0,~~~1,~~2,~~3,~~4,~~5,~~~6,~~7,~~8\}}}$

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.