Question

dada uma função f(x,y) = y²/x, o ponto p(1,2) e o vetor v = (2,5¹/²), determinar: a) o gradiente de f. b) o gradiente de f no ponto P. c) a taxa de variação de f em P na direção do vetor v

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

f(x,y) = y²/x, ponto p(1,2) e o vetor v = (2,5¹/²)

a) O gradiente é o vetor composto pelas derivadas parciais em x e y:

G = ($\frac{df}{dx},\ \frac{df}{dy}$)

$\frac{df}{dx}= -\frac{y^2}{x^2}$

$\frac{df}{dy}= \frac{2y}{x}$

G = ($-\frac{y^2}{x^2},\ \frac{2y}{x}$)

b) O gradiente no ponto é só substituir os valores de x e y do ponto p(1,2): x = 1 e y=2

G(1,2) = ($-\frac{2^2}{1^2} ,\ \frac{2*2}{1} = (-4,4)$

c)A taxa de variação é resultado do produto escalar entre o vetor gradiente no ponto pelo vetor unitário v:

Transformando o v em unitário: Vu = (2/3,$\sqrt{5}$/3)

G(1,2)*V = (-4,4)($2/3,\ \sqrt{5}/3)$ = $-4*\frac{2}{3} + 4*\frac{\sqrt{5} }{3} = \frac{-8}{3} + \frac{4\sqrt{5} }{3} = \frac{4\sqrt{5}-8 }{3}$