Question

Dada:
$f(x) = \begin{cases} 2x - a \: \: \: se \: \: \: x < - 3 \\ ax + 2b \: \: \: \: se \: \: - 3 \leqslant x \leqslant 3 \\ b - 5x \: \: \: se \: \: 3 < x\end{cases}$
Ache os valores de a e b, tais que existam os limites:
$\boxed{ \lim_{x \rightarrow - 3}f(x) \: \: \: e \: \: \: \lim_{x \rightarrow \: 3}f(x)}$
(ﾉ◕ヮ◕)ﾉ*.✧​

Answer 1

Olá marcos4829...

Para que existam esses limites, os limites laterais de cada um desses limites devem ser iguais. Ou seja...

$\lim_{x→ { - 3}^{ - } }f(x) = \lim_{x→ { - 3}^{ + } }f(x)$

$\lim_{x→ { 3}^{ - } }f(x) = \lim_{x→ { 3}^{ + } }f(x)$

Para encontrar os valores de a e b, vamos encontrar os valores desses limites laterais e vamos igualar seus valores conforme as duas equações acima, assim teremos duas equações com as variáveis a e b. Por fim, igualamos essas equações e encontramos os valores de a e b.

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Calculando os limites laterais (e igualando)..

• Os limites da forma (x → -3):

$\lim_{x→ { - 3}}f(x)$

↓

$\lim_{x→ { - 3}^{ - } }f(x) = \lim_{x→ - 3 } 2x - a=2 \times ( - 3) - a = - 6 - a$

$\lim_{x→ { - 3}^{ + } }f(x) = \lim_{x→ - 3} = a \times ( - 3) + 2b = - 3a + 2b$

Igualando as duas equações..

$\lim_{x→ { - 3}^{ - } }f(x) = \lim_{x→ { - 3}^{ + } }f(x)$

$- 6 - a = - 3a + 2b$

$2a - 2b - 6 = 0$

• Os limites da forma (x → 3):

$\lim_{x→ { 3} }f(x)$

↓

$\lim_{x→ { 3}^{ - } }f(x) =\lim_{x→ { 3} }ax + 2b =3a + 2b$

$\lim_{x→ { 3}^{ + } }f(x) = \lim_{x→ { 3}}b - 5x =b - 5 \times (3) = b - 15$

Igualando as duas equações..

$\lim_{x→ { 3}^{ - } }f(x) = \lim_{x→ { 3}^{ + } }f(x)$

$3a + 2b = b - 15$

$3a + b + 15 = 0$

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Agora que temos as duas equações finais (com as variáveis a e b), vamos igualá-las...

$2a - 2b - 6 = 3a + b + 15$

$a = - 3b - 21$

Substituindo esse valor de a em uma das duas equações (escolhi a "2a - 2b - 6 = 0" )...

$2 \times ( - 3b - 21) - 2b - 6 = 0$

$- 6b - 42 - 2b - 6 = 0$

$8b = - 48$

$b = - 6$

Achamos o valor de b.

Agora, substituindo o valor de b em "a = - 3b - 21"...

$a = - 3 \times ( - 6) - 21$

$a = - 3$

Achamos o valor de a.

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Resposta: a = -3; b = -6

Qualquer dúvida, comente aí...

Espero ter ajudado!