Question

Dada f(x) = 2x-1 : 3x , onde x é diferente de 0 e seja g a inversa é f, qual o valor de g(1)?

Answer 1

Temos que:

$\sf f(x) = \frac{2x - 1}{3x} \rightarrow x \neq0$

A questão nos diz que a função g(x) é igual a inversa da f(x), ou seja, podemos dizer que:

$\sf g(x) = f {}^{ - 1} (x)$

Com isso a questão pergunta o valor de g(1).

• Primeiro vamos encontrar a inversa de f(x).

1) Troque f(x) por "y", já que representam o mesmo significado e é mais fácil trabalhar com "y":

$\sf f(x) = \frac{2x - 1}{3x} \longrightarrow y = \frac{2x - 1}{3x}$

2) Faça uma inversão de "x" por "y", ou seja, onde tiver 'x" coloque "y" e onde tiver "y" coloque "x":

$\sf y = \frac{2x - 1}{3x} \longrightarrow x = \frac{2y - 1}{3y}$

3) Multiplique cruzado e isole a incógnita "y":

$\sf x = \frac{2y - 1}{3y} \\ \sf 3y.x = 2y - 1 \\ \sf 3xy = 2y - 1 \\ \sf 3xy - 2y = - 1 \\ \sf y.(3x - 2) = - 1 \\ \sf y = \frac{ - 1}{3x - 2} \\ \sf y = \frac{1}{2 - 3x}$

4) No local de "y" coloque a notação de inversa:

$\sf y = \frac{ 1}{2 - 3x} \longrightarrow f {}^{ - 1} (x) = \frac{1}{2 - 3x}$

No começo da questão eu disse que g(x) era igual a inversa de f(x), logo:

$\sf g(x) = f {}^{ - 1} (x) \\ \sf g(x) = \frac{1}{2 - 3x}$

Por fim substitua no local de "x" o valor "1", pois a questão pergunta g(1):

$\sf g(x) = \frac{1}{2 - 3x} \\ \sf g(1) = \frac{1}{2 - 3.1} \\ \sf g(1) = \frac{1}{2 - 3} \\ \sf g(1) = \frac{1}{ - 1} \\ \boxed{ \sf g(1) = - 1 }$

Espero ter ajudado