Question

Dada as relações:

Cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b
Sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

Determine:

a) Cos 2x em função cos x
b) tg (a + b) em função de tg a . tg b​

Answer 1

Resposta:

2cos²x - 1

Explicação passo a passo:

cos(2x) = cos(x + x) = cosx.cosx - senx.senx = cos²x - sen²x = cos²x - ( 1 - sen²x) = cos²x - 1 + cos²x = 2cos²x - 1

Answer 2

Resposta:

a)  $\cos(2x)=2\cos^2 x-1.$

b)

     $\mathrm{tg}(a+b)=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{\mathrm{tg\,}a+\mathrm{tg\,}b}{1-\mathrm{tg\,}a\cdot \mathrm{tg\,}b}&\quad\mathrm{se~}\cos a\ne 0\mathrm{~e~}\cos b\ne 0\\\\ -\,\dfrac{1}{\mathrm{tg\,}a}&\quad\mathrm{se~}\cos a\ne 0\mathrm{~e~}\cos b=0\\\\ -\,\dfrac{1}{\mathrm{tg\,}b}&\quad\mathrm{se~}\cos a=0\mathrm{~e~}\cos b\ne 0\\\\ 0&\quad\mathrm{se~}\cos a=\cos b=0\end{array}\right.$

Explicação passo a passo:

a)

     $\begin{array}{l} \cos(2x)=\cos(x+x)\\\\ \cos(2x)=\cos x\cdot \cos x-\mathrm{sen\,}x\cdot \mathrm{sen\,}x\\\\ \cos(2x)=\cos^2 x-\mathrm{sen^2\,}x\end{array}$

Pela relação trigonométrica fundamental, podemos substituir $\mathrm{sen^2\,}x=1-\cos^2 x,$ e a identidade acima fica

$\begin{array}{l} \cos(2x)=\cos^2 x-(1-\cos^2 x)\\\\ \cos(2x)=\cos^2 x-1+\cos^2 x\\\\ \cos(2x)=2\cos^2 x-1\qquad\checkmark\end{array}$

b)

Aplicando a definição de tangente, temos

     $\begin{array}{l} \mathrm{tg}(a+b)=\dfrac{\mathrm{sen}(a+b)}{\cos(a+b)}\\\\ \mathrm{tg}(a+b)=\dfrac{\mathrm{sen\,}a\cdot \cos b+\mathrm{sen\,}b\cdot \cos a}{\cos a\cdot \cos b-\mathrm{sen\,}a\cdot \mathrm{sen\,}b}\qquad\mathrm{(i)}\end{array}$

Devemos estudar os casos abaixo:

• Se $\cos a=0$ e $\cos b=0$

a identidade fica

     $\begin{array}{l}\mathrm{tg}(a+b)=\dfrac{\mathrm{sen\,}a\cdot 0+\mathrm{sen\,}b\cdot 0}{0\cdot 0-\mathrm{sen\,}a\cdot \mathrm{sen\,}b}\\\\ \mathrm{tg}(a+b)=\dfrac{0+0}{0-\mathrm{sen\,}a\cdot \mathrm{sen\,}b}\\\\ \mathrm{tg}(a+b)=\dfrac{0}{-\mathrm{sen\,}a\cdot \mathrm{sen\,}b}=0\qquad\checkmark\end{array}$

• Se $\cos a=0$ e $\cos b\ne 0$

a identidade fica

     $\begin{array}{l} \mathrm{tg}(a+b)=\dfrac{\mathrm{sen\,}a\cdot \cos b+\mathrm{sen\,}b\cdot 0}{0\cdot \cos b-\mathrm{sen\,}a\cdot \mathrm{sen\,}b}\\\\ \mathrm{tg}(a+b)=\dfrac{\mathrm{sen\,}a\cdot \cos b+0}{0-\mathrm{sen\,}a\cdot \mathrm{sen\,}b}\\\\ \mathrm{tg}(a+b)=\dfrac{\mathrm{sen\,}a\cdot \cos b}{-\mathrm{sen\,}a\cdot \mathrm{sen\,}b}\\\\ \mathrm{tg}(a+b)=\dfrac{\cos b}{-\mathrm{sen\,}b}\\\\ \mathrm{tg}(a+b)=\dfrac{1}{-\frac{\mathrm{sen\,}b}{\cos b}}\\\\ \mathrm{tg}(a+b)=-\,\dfrac{1}{\mathrm{tg\,}b}\qquad\checkmark\end{array}$

• Se $\cos a\ne 0$ e $\cos b=0$

Procedendo de forma análoga ao caso anterior, obtemos

     $\mathrm{tg}(a+b)=-\,\dfrac{1}{\mathrm{tg\,}a}\qquad\checkmark$

• Se $\cos a\ne 0$ e $\cos b\ne 0$

Coloque $\cos a\cdot \cos b$ em evidência no numerador e no denominador, e a identidade fica

     $\begin{array}{l} \mathrm{tg}(a+b)=\dfrac{\cos a\cdot \cos b\cdot (\frac{\mathrm{sen\,}a}{\cos a}+\frac{\mathrm{sen\,}b}{\cos b})}{\cos a\cdot \cos b\cdot (1-\frac{\mathrm{sen\,}a}{\cos a}\cdot \frac{\mathrm{sen\,}b}{\cos b})}\\\\ \mathrm{tg}(a+b)=\dfrac{\mathrm{tg\,}a+\mathrm{tg\,}b}{1-\mathrm{tg\,}a\cdot \mathrm{tg\,}b}\qquad\checkmark\end{array}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!