Question

dada as matrizes determine x para que det A = det B

me tirem essa dúvida prfv

Answer 1

Dada as matrizes A e B:

$\begin{array}{l}\\\sf A=\left[\begin{array}{ccc}\sf2&\sf x\\\sf3&\sf9\end{array}\right]_{(2x2)}\quad e\quad B=\left[\begin{array}{ccc}\sf1&\sf\!\!\!-1&\sf0\\\sf2&\sf3&\sf x\\\sf\!\!\!-1&\sf 2&\sf1\end{array}\right]_{(3x3)}\\\\\end{array}$

Devemos determinar x, para que os determinantes destas duas matrizes sejam iguais.

$~~$

Primeiro, vamos começar a calcular os determinantes.

Na matriz A é mais fácil, basta:

• fazer o produto de uma diagonal e subtrair do produto de outra diagonal (sendo a 1ª diagonal 2 e 9, e a 2ª diagonal x e 3):

$\begin{array}{l}\\\sf det[A]=\left|\begin{array}{ccc}\sf2&\sf x\\\sf3&\sf9\end{array}\right|\\\\\sf det[A]=2\cdot9-(x\cdot3)\\\\\sf det[A]=18-(3x)\\\\\!\boxed{\sf det[A]=18-3x}\\\\\end{array}$

E agora para calcular o determinante na matriz B, vamos aplicar a Regra de Sarrus:

• onde se repete as duas colunas iniciais ao lado da matriz, faz o produto de uma diagonal (principal), e subtrai do produto de outra diagonal (secundária):

$\begin{array}{l}\\\sf det[B]=\left|\begin{array}{ccc}\sf1&\sf\!\!\!-1&\sf0\\\sf2&\sf3&\sf x\\\sf\!\!\!-1&\sf 2&\sf1\end{array}\right|\\\\\sf det[B]=\left|\begin{array}{ccc}\sf1&\sf\!\!\!-1&\sf0\\\sf2&\sf3&\sf x\\\sf\!\!\!-1&\sf 2&\sf1\end{array}\right|\begin{matrix}\sf1&\sf\!\!\!-1\\\sf2&\sf3\\\sf\!\!\!-1&\sf 2\end{matrix}\\\\\sf det[B]=1.3.1+(-1).x.(-1)+0.2.2-[0.3.(-1)+1.x.2+(-1).2.1]\\\\\sf det[B]=3+x+0-[0+2x-2]\\\\\sf det[B]=3+x-[2x-2]\\\\\sf det[B]=3+x-2x+2\\\\\!\boxed{\sf det[B]=-x+5}\\\\\end{array}$

Calculado os determinantes, agora vamos igualar os seus valores e determinar o valor de x que torna a igualdade verdadeira:

$\begin{array}{l}\\\sf det[A]=det[B]\\\\\sf18-3x=-x+5\\\\\sf18-3x-18=-x+5-18\\\\\sf-3x=-x-13\\\\\sf-3x+x=-x-13+x\\\\\sf-2x\cdot(-1)=-13\cdot(-1)\\\\\sf2x=13\\\\\sf\dfrac{2x}{2}=\dfrac{13}{2}\\\\\!\boxed{\boxed{\sf x=\dfrac{13}{2}}}\\\\\end{array}$

Resposta: portanto x = 13/2 para que det[A] = det[B].

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Att. Nasgovaskov

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