Question

Dada as matrizes A e B definidas por:
→A=(aij)₂ₓ₂ tal que aij=$\left \{ {{i+j, se\ i=j} \atop {i-j,se\ i\neq j}} \right.$
→B=2A-Aт ,
calcule o valor de S=(det A-det B)².

Answer 1

Vamos calcular os elementos aij da matriz A de 2 linhas e 2 colunas seguindo a lei de formação que nos foi apresentada no enunciado e montar essa matriz. Vale lembrar que o índice "i" indica a linha e o índice "j", a coluna dos elementos aij.

$\sf A~=~\left[\begin{array}{ccc}\sf a_{11}&\sf a_{12}\\\sf a_{21}&\sf a_{22}\end{array}\right] \\\\\\\sf A~=~\left[\begin{array}{ccc}\sf 1+1&\sf 1-2\\\sf 2-1&\sf 2+2\end{array}\right] \\\\\\\sf A~=~\left[\begin{array}{ccc}\sf 2&\sf -1\\\sf 1&\sf 4\end{array}\right]$

Agora que temos a matriz A montada, podemos determinar a matriz B.

$\sf B~=~2\cdot A~-~A^{t}\\\\\\B~=~2\cdot \left[\begin{array}{ccc}\sf 2&\sf -1\\\sf 1&\sf 4\end{array}\right]~-~\left[\begin{array}{ccc}\sf 2&\sf -1\\\sf 1&\sf 4\end{array}\right]^t$

Multiplicar uma matriz por um escalar é o mesmo que multiplicarmos cada termo da matriz pelo escalar, logo:

$\sf B~=~ \left[\begin{array}{ccc}\sf 2\cdot2&\sf 2\cdot(-1)\\\sf 2\cdot 1&\sf 2\cdot4\end{array}\right]~-~\left[\begin{array}{ccc}\sf 2&\sf -1\\\sf 1&\sf 4\end{array}\right]^t\\\\\\B~=~ \left[\begin{array}{ccc}\sf 4&\sf -2\\\sf 2&\sf 8\end{array}\right]~-~\left[\begin{array}{ccc}\sf 2&\sf -1\\\sf 1&\sf 4\end{array}\right]^t$

Para acharmos a transposta de uma matriz, trocamos linha por coluna, isto é, o que era linha na matriz original será coluna na matriz transposta e o que era coluna será, agora, linha.

$\sf B~=~ \left[\begin{array}{ccc}\sf 4&\sf -2\\\sf 2&\sf 8\end{array}\right]~-~\left[\begin{array}{ccc}\sf 2&\sf 1\\\sf -1&\sf 4\end{array}\right]$

A soma (ou subtração) de matrizes é feita somando (ou subtraindo) elementos de mesma posição, logo:

$\sf B~=~ \left[\begin{array}{ccc}\sf 4-2&\sf -2-1\\\sf 2-(-1)&\sf 8-4\end{array}\right]\\\\\\\sf B~=~ \left[\begin{array}{ccc}\sf 2&\sf -3\\\sf 3&\sf 4\end{array}\right]$

Por fim, vamos determinar o valor da expressão S envolvendo os determinantes das matrizes A e B:

$\sf S~=~\left(~\left|\begin{array}{ccc}\sf 2&\sf -1\\\sf 1&\sf 4\end{array}\right|~-\left|\begin{array}{ccc}\sf 2&\sf -3\\\sf 3&\sf 4\end{array}\right|~\right)^2\\\\\\Lembrando~que~o~determinate~de~matrizes~de~ordem~2~\acute{e}~calculado\\pela~diferenca~entre~o~produto~dos~elementos~da~diagonal~principal\\e~o~produto~dos~elementos~da~diagonal~secundaria.\\\\\\S~=~\Big(~\big(~2\cdot 4-(-1)\cdot 1~\big)~-~\big(~2\cdot 4-~(-3)\cdot 3\big)~\Big)^2$

$\sf S~=~\Big(~\big(~8-(-1)~\big)~-~\big(~8-~(-9)\big)~\Big)^2\\\\\\S~=~\Big(~\big(~9~\big)~-~\big(~17\big)~\Big)^2\\\\\\S~=~\Big(-8~\Big)^2\\\\\\\boxed{\sf S~=~64}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$