Question

Dada as matrizes A=(2, 6 ;-4, 2 ), calcule 3A:​

Answer 1

Resposta:Definição

Dadas as matrizes A = (aij), de ordem m x n, e B = (bij), de ordem n x p, podemos obter a matriz produto C = A.B, do tipo m x p. Mas somente será possível encontrar a matriz produto C = (cij) se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.

Em termos gerais, temos...

multiplicacao de matrizes1

 

Exemplo 1

Dadas as matrizes A=[311042] e B=⎡⎣⎢321⎤⎦⎥ é possível encontrarmos a matriz produto a partir da multiplicação de A por B, pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Porém, o produto B.A não é possível, visto que o número de colunas de B é diferente do número de linhas de A.

multiplicacao de matrizes2

 

Para montarmos a matriz produto, devemos levar em conta que cada elemento da matriz Cij é obtido pela soma dos produtos de cada elemento da linha i de A pelo elemento correspondente da coluna j de B.

Em termos gerais, temos...

C = A . B = (cij)m x p

cij = ai1b1j + ai2b2j +...+ ainbnj

Isso significa dizer que para obtermos o produto de matrizes é preciso que multipliquemos cada elemento de uma linha pelo correspondente elemento de uma coluna somando os produtos obtidos em seguida.

Exemplo 2

Calcule A=[0−623]×[1235].

Resolução:

[0−623]×[1235]→[4]→Multiplica-se a primeira linha pela primeira coluna.

0 x 1 + 2 x 2 = 4

[0−623]×[1235]→[410]→Multiplica-se a primeira linha pela segunda coluna.

0 x 3 + 2 x 5 = 10

[0−623]×[1235]→[4010]→Multiplica-se a segunda linha pela primeira coluna.

–6 x 1 + 3 x 2 = 0

[0−623]×[1235]→[4010−3]→Multiplica-se a segunda linha pela segunda coluna.

–6 x 3 + 3 x 5 = –3

Solução: [4010−3]

Propriedades da multiplicação de matrizes

Associativa: (Am x n . Bn x p).Cp x r = A.(B.C)

Distributiva: (Am x n + Bn x p).Cp x r = A.C + B.C e Am x n .(Bn x p .Cp x r) = A.B + A.C

Elemento Neutro: Am x n .In = A e Im .Am x n = A, sendo I a matriz identidade.

(k.Am x n).Bn x p = A.(k.B) = k.(A.B), com k ∈ R.

(Am x n .Bn x p)t = Bt .At

Matriz Inversa

Dada a matriz quadrada A = (aij)n x n, dizemos que ela é inversível caso exista uma matriz B = (bij)n x n tal que:

A.B = B.A = In (matriz identidade)

Sendo B a matriz inversa de A, determina-se que B = A-1.

Exemplo 3

Multiplique a matriz A=[3512] pela matriz B=[2−5−13]. O que quer dizer esse resultado?

Resolução:

[3512]×[2−5−13]→[1]→Multiplica-se a primeira linha pela primeira coluna.

3 x 2 + 1 x (–5) = 1

[3512]×[2−5−13]→[10]→Multiplica-se a primeira linha pela segunda coluna.

3 x (–1) + 1 x 3 = 0

[3512]×[2−5−13]→[100]→Multiplica-se a segunda linha pela primeira coluna.

5 x 2 + 2 x (–5) = 0

[3512]×[2−5−13]→[1001]→Multiplica-se a segunda linha pela segunda coluna.

5 x (–1) + 2 x 3 = 1

Solução: [1001]=I2. Ao multiplicarmos A.B obtivemos a matriz identidade I2. Portanto, a matriz B é o inverso da matriz A (B = A-1).

“Pegue carona na educação e conheça as maravilhas que o Universo tem a nos oferecer.”

(Robison Sá)

Referências bibliográficas

SOUZA, Joamir Roberto de. Novo Olhar Matemática. – 1 ed. – São Paulo: FTD, 2010. – (Coleção novo olhar; v. 2)

YOUSSEF, Antonio Nicolau. Matemática: ensino médio, volume único / Antonio Nicolau Youssef, Elizabeth Soares, Vicente Paz Fernandez. – São Paulo: Scipione, 2005.

 

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Explicação passo-a-passo: