Question

Dada a transformação linear T(x, y, z) = (x - y, 2x - 2y, z), determine o núcleo de T, uma base do
núcleo e sua dimensão.​

Answer 1

Resposta:

Olá, Claudiabruno, neste exercício vamos abordar sobre uma função interessante: a transformação linear. Vamos lá!

Explicação passo-a-passo:

Vamos verificar a natureza dos objetos. A função é:

$T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ tal que, para cada terna ordenada (x,y,z), eu associo à transformação linear $T=(x-y,2x-2y,z)$, ou seja, uma outra terna.

i) Sabemos que:

$ker(T)=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : T(x,y,z)=0_{\mathbb{R}^3\}}\\ker(T)=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 :(x-y,2x-2y,z) =(0,0,0)\}$

Efetuando os cálculos, resulta:

x-y=0 => x=y

2x-2y=0 => x=y

z=0

Logo:

$ker(T)=\{x \in \mathbb{R}^3 : x=y\}=\{(x,x,0): x \in \mathbb{R}\}$

ii) Temos:

(x,x,0)=x.(1,1,0), $x \in \mathbb{R}$

Logo, $B=\{(1,1,0)\}$, donde dim(T)=1

Espero ter ajudado e esclarecido suas dúvidas!