Question

dada a transformaçao linear T(x,y,z) = (x-y,2x-2y,z), determine o nucleo de T uma base no nucleo e sua dimençao

Answer 1

Considere-se a transformação linear $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ dada por $T(x,y,z) = (x-y, 2x-2y, z)$.

O núcleo de $T$ corresponde ao conjunto:

$\ker T = \{\vec{u} \in \mathbb{R}^3: T(\vec{u}) = \vec{0}\}.$

Vamos então resolver a equação:

$T(\vec{u}} = \vec{0} \iff T(x,y,z) = (0,0,0) \iff (x-y, 2x-2y, z) = (0,0,0) \iff\\\\\iff \begin{cases}x = y \\ 2x = 2y \\ z = 0\end{cases} \iff \begin{cases}x = y \\ z = 0\end{cases}.$

Este conjunto corresponde à reta de interseção do plano $x=y$ com o plano $z=0$. Fica então claro que um ponto genérico dessa reta tem coordenadas:

$(x,x,0) = x(1,1,0), \quad\textrm{com } x \in \mathbb{R}.$

Podemos então escrever:

$\ker T = \{t(1,1,0): t \in \mathbb{R}\}.$

Assim, fica claro que , pelo que uma base do núcleo de $T$ corresponde ao conjunto:

$\mathcal{B} = \{(1,1,0)\}.$

Por fim, a dimensão do núcleo corresponde à cardinalidade da sua base:

$\dim (\ker T) = \#\mathcal{B} = 1.$