Dada a transformação linear T: R2→ R2 tal que T(2,-1)= (-5,0) e T (1,-3) = (-10, -5), determine:
a) T(x,y)
b) A matriz de T com relação à base canônica de R2.
c) Os autovalores de T(caso existam)
Soluções para a tarefa
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6
a) Vamos escrever o vetor (x,y) como uma combinação linear dos vetores (2,-1) e (1,-3), sobre os quais sabemos os resultados após a aplicação da transformação linear:
Agora, aplicando a transformação linear na expressão inicial:
Substituindo os valores conhecidos das tranformações e os coeficientes a e b:
![T(x,y)=a\,T(2,-1)+b\,T(1,-3)\\\\
T(x,y)=\dfrac{y+3x}{5}\cdot (-5,0)-\dfrac{x+2y}{5}\cdot (-10,-5)\\\\
T(x,y)=[y+3x]\cdot (-1,0)-[x+2y]\cdot (-2,-1)\\\\
T(x,y)=(-3x-y,0)+(2x+4y,x+2y)\\\\
\boxed{\boxed{T(x,y)=(-x+3y,x+2y)}}](https://tex.z-dn.net/?f=T%28x%2Cy%29%3Da%5C%2CT%282%2C-1%29%2Bb%5C%2CT%281%2C-3%29%5C%5C%5C%5C%0AT%28x%2Cy%29%3D%5Cdfrac%7By%2B3x%7D%7B5%7D%5Ccdot+%28-5%2C0%29-%5Cdfrac%7Bx%2B2y%7D%7B5%7D%5Ccdot+%28-10%2C-5%29%5C%5C%5C%5C%0AT%28x%2Cy%29%3D%5By%2B3x%5D%5Ccdot+%28-1%2C0%29-%5Bx%2B2y%5D%5Ccdot+%28-2%2C-1%29%5C%5C%5C%5C%0AT%28x%2Cy%29%3D%28-3x-y%2C0%29%2B%282x%2B4y%2Cx%2B2y%29%5C%5C%5C%5C%0A%5Cboxed%7B%5Cboxed%7BT%28x%2Cy%29%3D%28-x%2B3y%2Cx%2B2y%29%7D%7D "T(x,y)=a\,T(2,-1)+b\,T(1,-3)\\\\
T(x,y)=\dfrac{y+3x}{5}\cdot (-5,0)-\dfrac{x+2y}{5}\cdot (-10,-5)\\\\
T(x,y)=[y+3x]\cdot (-1,0)-[x+2y]\cdot (-2,-1)\\\\
T(x,y)=(-3x-y,0)+(2x+4y,x+2y)\\\\
\boxed{\boxed{T(x,y)=(-x+3y,x+2y)}}")
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b) Para montarmos essa matriz, primeiro precisamos encontrar as transformações dos vetores da base canônica do
:
Agora podemos montar a matriz A que representa T. As colunas da matriz serão os vetores que representam as transformações dos vetores da base canônica. Assim, a coluna 1 será T(1,0) e a coluna 2 será T(0,1):
![[T]=A=\left[\begin{matrix}-1&&3\\1&&2\end{matrix}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5BT%5D%3DA%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7D-1%26amp%3B%26amp%3B3%5C%5C1%26amp%3B%26amp%3B2%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D "[T]=A=\left[\begin{matrix}-1&&3\\1&&2\end{matrix}\right]")
-----------------------------------------//-----------------------------------
c) Os autovalores
de T são aqueles que tornam a igualdade 
verdadeira. Dessa maneira:
![\lambda I-A=\left[\begin{matrix}\lambda+1&&-3\\-1&&\lambda-2\end{matrix}\right]\\\\
\det(\lambda I-A)=\left|\begin{matrix}\lambda+1&&-3\\-1&&\lambda-2\end{matrix}\right|\\\\
\det(\lambda I-A)=(\lambda+1)(\lambda-2)-(-3)(-1)\\\\
\det(\lambda I-A)=\lambda^2-\lambda-2-3\\\\
0=\lambda^2-\lambda-5\\\\\\
\Delta=b^2-4ac\\\\
\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-5)\\\\
\Delta=1+20=21\\\\\\
\lambda=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{21}}{2\cdot1}=\dfrac{1\pm\sqrt{21}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clambda+I-A%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Clambda%2B1%26amp%3B%26amp%3B-3%5C%5C-1%26amp%3B%26amp%3B%5Clambda-2%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D%5C%5C%5C%5C%0A%5Cdet%28%5Clambda+I-A%29%3D%5Cleft%7C%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Clambda%2B1%26amp%3B%26amp%3B-3%5C%5C-1%26amp%3B%26amp%3B%5Clambda-2%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%7C%5C%5C%5C%5C%0A%5Cdet%28%5Clambda+I-A%29%3D%28%5Clambda%2B1%29%28%5Clambda-2%29-%28-3%29%28-1%29%5C%5C%5C%5C%0A%5Cdet%28%5Clambda+I-A%29%3D%5Clambda%5E2-%5Clambda-2-3%5C%5C%5C%5C%0A0%3D%5Clambda%5E2-%5Clambda-5%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0A%5CDelta%3Db%5E2-4ac%5C%5C%5C%5C%0A%5CDelta%3D%28-1%29%5E2-4%5Ccdot1%5Ccdot%28-5%29%5C%5C%5C%5C%0A%5CDelta%3D1%2B20%3D21%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0A%5Clambda%3D%5Cdfrac%7B-b%5Cpm%5Csqrt%5CDelta%7D%7B2a%7D%3D%5Cdfrac%7B-%28-1%29%5Cpm%5Csqrt%7B21%7D%7D%7B2%5Ccdot1%7D%3D%5Cdfrac%7B1%5Cpm%5Csqrt%7B21%7D%7D%7B2%7D "\lambda I-A=\left[\begin{matrix}\lambda+1&&-3\\-1&&\lambda-2\end{matrix}\right]\\\\
\det(\lambda I-A)=\left|\begin{matrix}\lambda+1&&-3\\-1&&\lambda-2\end{matrix}\right|\\\\
\det(\lambda I-A)=(\lambda+1)(\lambda-2)-(-3)(-1)\\\\
\det(\lambda I-A)=\lambda^2-\lambda-2-3\\\\
0=\lambda^2-\lambda-5\\\\\\
\Delta=b^2-4ac\\\\
\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-5)\\\\
\Delta=1+20=21\\\\\\
\lambda=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{21}}{2\cdot1}=\dfrac{1\pm\sqrt{21}}{2}")
Logo, os autovalores de T são:
Agora, aplicando a transformação linear na expressão inicial:
Substituindo os valores conhecidos das tranformações e os coeficientes a e b:
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b) Para montarmos essa matriz, primeiro precisamos encontrar as transformações dos vetores da base canônica do
Agora podemos montar a matriz A que representa T. As colunas da matriz serão os vetores que representam as transformações dos vetores da base canônica. Assim, a coluna 1 será T(1,0) e a coluna 2 será T(0,1):
-----------------------------------------//-----------------------------------
c) Os autovalores
Logo, os autovalores de T são:
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