Question

Dada a superficie f(x,y) = 1 + x ^2/3^2 + y^2/4^2 determine a derivada direcional para os arcos de 0º, 45º e -45º.



Alguém sabe essa?

Answer 1

Olá!

A derivada direcional de uma função é dada pela seguinte fórmula:

$D_uf(x,y) = f_x(x,y).a+f_y(x,y).b$

u seria um vetor unitário correpondente a direção no qual você deseja derivar, normalmente é representado por u = (a,b). Como a direção se deu por meio de um ângulo, podemos representar a componente x como $\bold{cos\theta}$ e a componente y como $\bold{sen\theta}$, portanto a fórmula agora ficaria assim:

$D_uf(x,y) = f_x(x,y).cos\theta + f_y(x,y).sen\theta$

Calculado as detivadas parciais:

$f(x,y) =\:1\:+\:\frac{x\:^2}{9}\:+\:\frac{y^2}{16}\\f_x(x,y) = \frac{2x}{9}$

$f_y(x,y)=\frac{y}{8}$

Derivada direcional para o arco 0°:

$D_uf(x,y) = f_x(x,y).cos0 + f_y(x,y).sen0$

$D_uf(x,y) = \frac{2x}{9}.1$

Derivada direcional para o arco 45°:

$D_uf(x,y) = f_x(x,y).cos45 + f_y(x,y).sen45$

$D_uf(x,y) = \frac{2x}{9}.\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{y}{8}.\frac{\sqrt{2}}{2}$

Derivada direcional para o arco -45°:

$D_uf(x,y) = f_x(x,y).cos(-45) + f_y(x,y).sen(-45)$

$D_uf(x,y) = \frac{2x}{9}.\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{y}{8}.-\frac{\sqrt{2}}{2}$