Question

Dada a série :
∞
∑       $\frac{k!\ 2^{k} }{ k^{k} }$
k=1

Determine o valor de L e se a série é : convergente, divergente ou indefinida.

Answer 1

Usaremos o teste da razão

Seja ,

$a_{k} = \frac{k!.2^k}{k^k}$

Devemos encontrar uma expressão para a(k+1)

Ou seja,

$\\ a_{k+1} = \frac{(k+1)!.2^k^+^1}{(k+1)^k^+^1} \\ \\ Resolvendo; \\ \\ a_{k+1} = \frac{(k+1).k!.2^k.2}{(k+1)^k.(k+1)} \\ \\ Logo, \lim_{k \to \infty} \frac{ a_{k+1} }{ a_{k} } = ? \\ \\ = \lim_{k \to \infty} \frac{ \frac{(k+1).k!.2^k.2}{(k+1)^k.(k+1)} }{ \frac{k!;2^k}{k^k} } \\ \\ Invertendo; \\ \\ = \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1).k!.2^k.2}{(k+1)^k.(k+1)} . \frac{k^k}{k!.2^k} \\ \\ Cancelando; \\ \\ = \lim_{k \to \infty} \frac{2.k^k.}{(k+1)^k}$

$\\ = 2.\lim_{k \to \infty} \frac{k^k}{(k+1)^k} \\ \\ = 2.\lim_{k \to \infty} ( \frac{k}{k+1} )^k$

Dividindo por "k" dentro do parentes, encima e embaixo.


$\\ = 2.\lim_{k \to \infty} ( \frac{ \frac{k}{k} }{ \frac{1+k}{k} } )^k \\ \\ = 2.\lim_{k \to \infty} ( \frac{ 1 }{ 1+ \frac{1}{k} } )^k \\ \\ Separando, \\ \\ = 2 . \frac{ \lim_{k \to \infty} 1^k }{ \lim_{k \to \infty} (1+ \frac{1}{k})^k }$

Contudo, o limite do do denominador vai pra "e"

$\\ = 2. \frac{1}{e}$

≈ 0,7357

Como o limite deu menor que 1,




 ∴ converge.