Matemática, perguntado por ellenisa58, 1 ano atrás

Dada a série geométrica ∑4 (1/2)ⁿ⁻¹ determine se ela diverge ou converge. Se convergir calcule sua soma.

Soluções para a tarefa

Respondido por acidbutter
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Manipularei o somatório para começar a trabalhar com a série em n = 0 e colocarei o 4 (que pode sair do somatório multiplicando por causa de uma das propriedades do somatório)
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }4\left(\frac{1}{2}\right)^{(n-1)}=4\sum_{n+1=1}^{\infty}\left(\frac{2}{2}\right)^n=4\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n

Sabemos que toda série geométrica é dada na forma \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}cr^{n} converge para todo |r|\ \textless \ 1
logo:
\displaystyle \frac{1}{2}\ \textless \ 1 portanto a série converge.
Estimamos sua soma observando o comportamento dos seus n primeiros termos:
\displaystyle S_n=\sum_{n=0}^{n}\frac{1}{2^n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}\\\\\frac{1}{2}S_{n}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{n}\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{(n+1)}}\\\\\text{subtrair a primeira linha pela segunda}
\\\\
\left(1-\frac{1}{2}\right)S_n=1-\frac{1}{2^{(n+1)}}\implies S_n=\frac{1-\frac{1}{2^{(n+1)}}}{\frac{1}{2}}

Sn é a soma dos n termos da série (encontramos uma fórmula para estimar a soma)
\displaystyle \sum_{n=0}^{N}\frac{1}{2^{n}}=S_n\implies \lim_{N\to\infty }\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{2^{n}}=S
ou seja, se tomarmos o limite de Sn com o n indo pro infinito encontraremos a soma dessa série:
\displaystyle i)~~~~\lim_{n\to\infty }S_n=S\\\\ii)~~~\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{1}{2^{(n+1)}}}{\frac{1}{2}}=\frac{1-0}{\frac{1}{2}}=2
ou seja:
\displaystyle 4\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=4S=4(2)=\boxed{8}

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