Question

Dada a sequência infinita abaixo, calcule a soma. 1 + 2 + 1/3 + 2/5 + 1/9 + 2/25 +. + (1/3) n + 2. (1/5) n +

Answer 1

A soma da sequência infinita 1 + 2 + 1/3 + 2/5 + 1/9 + 2/25 + ... + (1/3)ⁿ + 2. (1/5)ⁿ é 4.

Soma infinita de uma Progressão geométrica

A soma de infinitos termos de uma progressão geométrica (P.G.) decrescente, ou seja, a razão dessa PG é maior que zero e menor que um, é:

S = A₁/(1 - q)

Onde:

• S é a soma dos infinitos termos
• A₁ é o primeiro termo da PG
• q é a razão da PG

Então, temos a seguinte sequência infinita:

1 + 2 + 1/3 + 2/5 + 1/9 + 2/25 + ... + (1/3)ⁿ + 2. (1/5)ⁿ

Podemos separa-la da seguinte maneira:

[1 + 1/3 + 1/9 + ... + (1/3)ⁿ] + 2 * [1 + 1/5 + 1/25 + ... + (1/5)ⁿ]

Podemos notar que a sequência fica dividida em duas PGs, então teremos:

S₁ = [1 + 1/3 + 1/9 + ... + (1/3)ⁿ]

S₂ =  [1 + 1/5 + 1/25 + ... + (1/5)ⁿ]

A primeira PG tem como primeiro termo o 1 e razão 1/3, logo a soma será:

S₁ = A₁/(1 - q)

S₁ = 1/(1 - 1/3)

S₁ = 1/(2/3)

S₁ = 3/2

A segunda PG tem como primeiro termo o 1 e 1razão 1/5, logo a soma será:

S₂ = A₁/(1 - q)

S₂ = 1/(1 - 1/5)

S₂ = 1/(4/5)

S₂ = 5/4

Substituindo esses valores na sequência infinita, obtemos:

[1 + 1/3 + 1/9 + ... + (1/3)ⁿ] + 2 * [1 + 1/5 + 1/25 + ... + (1/5)ⁿ]

S₁ + 2 * S₂

3/2 + 2*5/4

3/2 + 5/2

(3 + 5)/2

8/2

4

Então a sequência infinita apresentada é igual a 4.

Para entender mais sobre soma de pg, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/28398565

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