Question

Dada a sequência (∛2^5, ∛∛2^5, ∛∛∛2^5, ...), o produto de seus termos é igual a:
a) √2/5
b) √2/4
c) 4√2
d) 2√2

Answer 1

Resposta:

c) 4√2

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente você deve fracionar as potências, lembre-se de que os radicais vão sempre ficar como denominador e o expoente vai ficar no numerador:

$\sqrt[3]{2^5} = 2^{\frac{5}{3}}$

Além disso, lembre-se da propriedade de radiciação: "o índice da raiz enésima de uma raiz de índice k é igual ao produto dos índices", ou, algebricamente: $\sqrt[n]{\sqrt[k]{x}} = \sqrt[n*k]{x}$ (ex.: $\sqrt[3]{\sqrt[2]{x}} = \sqrt[2*3]{x} = \sqrt[6]{x}$ )

Agora, vamos ver como fica a sequência da questão com os expoentes fracionados:

$( 2^{\frac{5}{3}} ; 2^{\frac{5}{9}} ; 2^{\frac{5}{27}} ; 2^{\frac{5}{81}} ; 2^{\frac{5}{243}} ... )$ oooou $( 2^{\frac{5}{3^1}} ; 2^{\frac{5}{3^2}} ; 2^{\frac{5}{3^3}} ; 2^{\frac{5}{3^4}} ; 2^{\frac{5}{3^5}} ... )$

Portanto, dá pra notar que os expoentes formam uma Progressão Geométrica decrescente, com a razão sendo um terço $(\frac{1}{3})$. Assim, quando multiplicarmos os termos dessa sequência, os expoentes irão somar entre si, tendo em vista que o produto de duas potências de mesma base resulta na soma dos expoentes com a base intacta.

Logo, o resultado desse produto será 2 elevado à soma dos termos de uma progressão geométrica infinita e decrescente, dada pela fórmula: $S = \frac{a_1}{1-q}$ , sendo $a_1$ o primeiro termo da sequência e q a razão, que no nosso caso é um terço:

$S = \frac{\frac{5}{3}}{1 - \frac{1}{3}} \\ \\ S = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}} \\ \\ S = \frac{5}{3} * \frac{3}{2} \\ \\ S = \frac{5}{2}$

Assim, o produto dos termos da sequência da questão é igual ao seguinte:

$2^{\frac{5}{2}} = \sqrt[2]{2^{5}} = 4\sqrt[2]{2}$