Question

Dada a reta t de equação x + y + 3 + 0 e a circunferência de equação x2+ y2-4x –2y -13 = 0, qual a posição da reta t em relação a circunferência?

Answer 1

⠀

⠀⠀⠀☞ Esta reta é tangente à circunferência. ✅

⠀

⠀

⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício vamos igualar as equações e utilizar a fórmula de Bháskara. ⭐⠀  

⠀

⠀

⠀⠀⠀☔⠀Oi, Guntu. ✌. Existem 3 possibilidades para a posição relativa de uma reta com relação a uma circunferência:

⠀

• ☃️⠀A reta é secante à circunferência → ambas possuem dois pontos reais em comum;

⠀

• ☃️⠀A reta é tangente à circunferência → ambas possuem um ponto real em comum;

⠀

• ☃️⠀A reta é externa à circunferência → ambas não possuem nenhum ponto real em comum.

⠀

⠀⠀⠀➡️⠀Para descobrirmos quantos pontos reais elas tem em comum vamos igualar o valor de y das duas equações e verificar se existe algum valor de x que satisfaça a equação encontrada. Primeiro vamos isolar y na equação da reta:

⠀

$\LARGE\blue{\sf y = -x - 3}$

⠀

⠀⠀⠀➡️⠀Agora vamos substituir y na equação da circunferência:

⠀

$\blue{\sf x^2 + (-x - 3)^2 - 4x - 2(-x - 3) - 13 = 0}$

⠀

$\blue{\sf x^2 + x^2 + 6x + 9 - 4x + 2x + 6 - 13 = 0}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf 2x^2 + 4x + 2 = 0}$

⠀

⠀

⠀⠀⠀☔⠀O que chamamos de fórmula de Bháskara nada mais é do que um rearranjo algébrico de uma função quadrática (função polinomial de grau dois) para isolarmos a variável x quando y = 0 (ou seja, uma forma de encontrarmos a(s) raiz(es) desta função, caso ela(s) exista(m), sendo a(s) raiz(es) geometricamente o(s) valor(es) de x por onde nossa parábola, descrita pela função quadrática, intercepta(m) o eixo x):

⠀

                       $\gray{\boxed{~~\begin{array}{lcr}&&\\&\pink{\text{\Large \underline{\bf~~~~O~tal~do~Bh\acute{a}skara...~~~~} }}&\\\\\\&\sf\orange{a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0}&\\\\&\green{\sf\clubsuit\underline{~Multiplicando~ambos~os~lados~por~4a~}\clubsuit}&\\\\&\orange{\sf 4a \cdot (a \cdot x^2 + b \cdot x + c) = 0 \cdot 4a}&\\\\&\orange{\sf 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0}&\\\\&\green{\sf\clubsuit\underline{~Somando~b^2~em~ambos~os~lados~}\clubsuit}&\\\\&\orange{\sf b^2 + (4a^2x^2 + 4abx + 4ac) = 0 + b^2}&\\\\&\orange{\sf 4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac}&\\\\&\green{\sf\clubsuit\underline{~Fatorando~o~lado~esquerdo~}\clubsuit}&\\\\&\orange{\sf (2ax)^2 + 2 \cdot (2ax \cdot b) + b^2 = b^2 - 4ac}&\\\\&\orange{\sf (2ax + b)^2 = b^2 - 4ac}&\\\\&\green{\sf\clubsuit\underline{~Radiciando~ambos~os~lados~}\clubsuit}&\\&&\\&\orange{\sf \sqrt{(2ax + b)^2} = \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}&\\\\&\orange{\sf 2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}&\\\\&\orange{\sf 2ax = -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}&\\\\&\orange{\sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}}&\\\\&\green{\sf\spadesuit\underline{~Seja~o~discriminante~\Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c~}\spadesuit}&\\\\&\red{\boxed{\pink{\boxed{\Large\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\bf x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}&\\&&\end{array}~~}}$

⠀

⠀

⠀⠀⠀➡️⠀Pela fórmula de Bháskara temos:

⠀

$\LARGE\blue{\sf\Delta = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf\Delta = 16 - 16 = 0}$

⠀

⠀⠀⠀⭐⠀Como Δ = 0 então temos somente uma raiz real para essa função quadrática, ou seja, a reta é tangente à circunferência. Para descobrir o ponto basta encontrarmos o valor de x através de Δ e depois o valor y substituindo em alguma das duas equações (da reta ou da circunferência). ✅

⠀

⠀

• ☃️ Curiosidade: só no Brasil chamamos este método para descobrir a(s) raiz(es) de uma função quadrática de Fórmula de Bháskara, no resto do mundo é só Método para encontrar a(s) raiz(es) de uma equação de segundo grau mesmo. Nem sequer foi o matemático Bháskara, que viveu no século 12, quem inventou tal método. Este já existia antes dele e tem sido aprimorado ao longo dos milênios por diversas culturas.

⠀

⠀

⠀

⠀

                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀

⠀⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre circunferências:

⠀

                                     https://brainly.com.br/tarefa/48011175 ✈  

⠀

⠀

⠀

                                     $\huge\blue{\text{\bf\quad Bons~estudos.}}$ ☕

⠀

                                          $\quad\qquad(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios})$ ☄

⠀

                             $\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }\LaTeX}$✍

                                $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly}$ ☘☀❄☃☂☻)

⠀

⠀

⠀

⠀

                                                          $\Huge\green{\text{ \underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~} }}$ ✞

⠀