Question

Dada a reta R de equação 3x-2y+4=0 e o ponto P = (1,-3), determine uma equação da reta S que passa pelo ponto P e é perpendicular a reta R

Answer 1

Vamos lá.

Veja, WillianVictor, que a resolução é simples.

Antes note que se uma reta "r"é perpendicular a uma reta "s",  então o produto dos seus coeficientes angulares (mr*ms) será igual a "-1".

Dessa forma, então vamos logo encontrar qual é o coeficiente angular da reta "r", cuja equação é esta:

reta "r": 3x - 2y + 4 = 0 ---- para encontrar o coeficiente angular da reta "r" (mr) vamos isolar "y". E o coeficiente angular será o coeficiente de "x" após havermos isolado "y". Assim, isolando "y", teremos:

- 2y = - 3x - 4 ----- vamos multiplicar ambos os membros por "-1". Assim:
2y = 3x + 4
y = (3x + 4)/2 ---- ou distribuindo cada fator dividido por "2", teremos:
y = 3x/2 + 4/2
y = 3x/2 + 2 <--- Veja: o coeficiente angular da reta "r" (mr) é igual a "3/2" (que é o coeficiente de "x" após havermos isolado o "y").

Agora vamos encontrar qual é o coeficiente angular da reta "s" (ms). Para isso, multiplicaremos o coeficiente angular "ms" pelo coeficiente angular da reta "r" (mr = 3/2) e igualaremos a "-1". Assim:

ms*3/2 = - 1 --- ou apenas:
3ms/2 = - 1 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
3ms = 2*(-1)
3ms = - 2 ----- isolando "ms", teremos:
ms = - 2/3 <--- Este será o coeficiente angular da reta "s"

i) Bem, agora como já temos o coeficiente angular da reta "s" (ms = - 2/3), vamos encontrar qual é a equação da reta "s".

Antes veja que a equação de uma reta, quando já se conhece o seu coeficiente angular (m) e um ponto ponto P(xp; yp) por onde ela passa, é encontrada assim:

y - yp = m*(x - xp).

Portanto, tendo a relação acima como parâmetro, então a equação da reta "s", que tem coeficiente angular igual a "-2/3" (ms = - 2/3) e que passa no ponto P(1; -3), terá a sua equação encontrada da seguinte forma:

y - (-3) = (-2/3)*(x - 1)
y + 3 = (-2/3)*(x - 1) ----- veja que isto é a mesma coisa que:
y + 3 = -2*(x - 1)/3 ----- multiplicando-se em cruz, teremos (foi aqui o engano):
3*(y + 3) = - 2*(x - 1) ---- efetuando os produtos indicados nos 2 membros, temos:

3y + 9 = - 2x + 2 ------- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
3y + 9 + 2x - 2 = 0 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes:
2x + 3y + 7 = 0 <------ esta é a resposta.

Valeu, WillianVictor, obrigado pelo "alerta". Agora está tudo ok. A equação da reta "s" é a que demos aí em cima. É que, quando fui multiplicar em cruz eu multipliquei o 1º membro por "2" e era para fazê-lo por "3", pois o denominador era "3" e não "2". Então a multiplicação do 1º membro deveria ser por "3", o que agora foi feito corretamente.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.